Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.9 - Ex. 9
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, pessoal?
Vamos resolver essa questão encontrando uma representação em série de potências para a função e determinando seu intervalo de convergência.
Para começar, podemos reescrever a função de forma conveniente:
Agora, percebemos que essa expressão pode ser interpretada como a soma de duas séries geométricas. Uma delas tem primeiro termo e razão , e a outra tem primeiro termo e razão . Essa interpretação é possível devido à fórmula da soma de uma série geométrica infinita.
Primeiro, iremos identificar essas séries geométricas na função e reescrevê-las em termos de uma série de potências. Para isso, precisaremos manipular a expressão da função para tomar evidentes essas séries. Em seguida, podemos utilizar o conhecimento das propriedades das séries geométricas para encontrar a representação em série de potências de .
Passo 2
Dado que a função pode ser expressa como a soma de duas geométricas, cada uma com primeiro termo e razão , podemos aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica para cada uma delas.
A série geométrica mais genérica é dada por:
Onde é o primeiro termo e é a razão.
No caso da função , temos:
Aqui, e para ambas as séries.
Agora, vamos lembrar que a série geométrica converge se e somente se . Portanto, o intervalo de convergência é , o que implica que a série converge para em .
Passo 3
Assim, temos:
Ou seja, o intervalo de convergência é .