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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 6

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 0 ∞ ( 2 x ) n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Adequando à série dada, temos:

lim n → ∞ ⁡ 2 x n + 1 2 x n < 1

Ou:

lim n → ∞ ⁡ 2 x < 1

Desenvolvendo matematicamente:

| 2 x | ⁡ < 1

Passo 2

Que resulta no seguinte intervalo:

- 1 2 < x < 1 2  

Logo, quando x = - 1 / 2 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n → s é r i e   d i v e r g e n t e

E quando x = 1 / 2, temos:

∑ n = 1 ∞ 1 → s é r i e   d i v e r g e n t e

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1/2, enquanto o intervalo é - 1 2 < x < 1 2   .
  2. O intervalo de convergência absoluta é - 1 2 < x < 1 2  
  3. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1/2, enquanto o intervalo é - 1 2 < x < 1 2   .
  2. O intervalo de convergência absoluta é - 1 2 < x < 1 2  
  3. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

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Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ 3 * 5 * 7 … ( 2 n + 1 ) n
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ - 1 n x + 2 n n
Nos Exercícios 37-40, encontre o raio de convergência da série. ∑ n = 1 ∞ 2 * 4 * 6 … 2 n 2 * 5 * 8 … 3 n - 1 2 x n
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n n !
Nos Exercícios 37-40, encontre o raio de convergência da série. ∑ n = 1 ∞ n ! 3 * 6 * 9 * … * 3 n x n