Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 14
Encontre a série de Taylor de centrada no valor dado de a. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Oi, pessoal! Tudo em ordem?
A questão quer que a gente encontre a série de Taylor de que no nosso caso é:
Centrada em e seu raio de convergência .
Encontrar a série de Taylor de uma função centrada em um ponto significa expressar a função como uma soma infinita (que já sabemos que são séries) de termos polinomiais baseados nas derivadas de em .
Pra gente escrever uma função como uma série de Taylor, fazemos:
Onde a é a enésima derivada da nossa função no nosso ponto , que para nós é . A gente obtém esse termo derivando nossa função vezes.
Os termos da série de Taylor são do formato:
Então precisamos encontrar derivando várias vezes e depois escrever os termos da série.
Vamos lá, pessoal, partiu resolução!
Passo 2
O enunciado nos deu que:
E que:
Agora vamos achar:
Onde é a ordem da derivada. Então quando temos a própria função, já que ainda não foi derivada. Quando é a primeira derivada, quando temos a segunda derivada que é a derivada de derivada mais uma vez, e assim sucessivamente.
Como são muitas derivadas, vamos organizar tudo em uma tabela. Podemos montar a seguinte tabela, para alguns valores de n. Aqui é o valor da função derivada vezes e é com .
Se fossemos continuar para em diante que a derivada ia continuar dando . Então temos uma série com 5 termos. Vamos ver como ela fica no próximo passo.
Passo 3
Podemos escrever na forma dos termos da série de Taylor que apresentei pra gente no passo 1. Usando os dados da questão, temos:
A série de Taylor então é:
Para nosso caso ficará:
Usamos a soma de 0 até 4 pois a partir do termo nossos termos são iguais a zero.
Em resumo nossa função:
Pode ser rescrita pela série:
Note que os termos da soma são os termos que escrevi na primeira equação desse passo, só com os fatoriais e frações resolvidos e simplificadas.
Passo 4
Agora falta acharmos o raio de convergência . Nesse caso nem precisamos fazer contas. A gente viu que nossa série tem só 5 termos, então é uma série finita.
Uma série finita converge para todo , ou seja, nenhum valor que possa assumir vai mudar o fato de que a soma dos 5 termos vai se aproximar de certo valor.
Como não temos nenhuma restrição para os valores de , então dizemos que o raio de convergência é .
Resposta
O raio de convergência é