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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.11 - Ex. 16

  1. Expanda f x = x + x 2 / 1 - x 3 como uma série de potências.
  2. Use a parte a) para encontrar a soma da série

∑ n = 1 ∞ n 2 2 n

Passo 1

Para obtermos uma série de potências da nossa função, vamos utilizar a abordagem de séries binomiais. Para isto, precisamos começar relembrando como podemos escrever uma série binomial. Portanto, seja f x = 1 + x k , então,

f x = 1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Portanto, nosso primeiro passo é escrever a função da questão como esta função f , identificando cada um dos termos. Logo,

f x = x + x 2 1 - x 2 = x + x 2 ⋅ 1 - x - 3

Agora, vamos substituir o valor k = - 2 e no lugar de x colocar - x na série. Sendo assim, temos:

f x = x + x 2 ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 3 n - x n

Agora, precisamos expandir esse termo binomial e descobrir o padrão.

Passo 2

Vamos começar a expandir o termo binomial e entender o padrão dele.

- 3 0 = 1

- 3 1 = - 3 1 = - 3 1 = - 3

- 3 2 = - 3 ⋅ - 3 - 1 2 = 3 ⋅ 4 2 ⋅ 1

- 3 3 = - 3 ⋅ - 3 - 1 ⋅ - 3 - 2 3 ⋅ 2 = - 3 ⋅ 4 ⋅ 5 3 ⋅ 2 ⋅ 1

- 3 4 = - 3 ⋅ - 3 - 1 ⋅ - 3 - 2 ⋅ - 3 - 3 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

- 3 5 = - 3 ⋅ - 3 - 1 ⋅ - 3 - 2 ⋅ - 3 - 3 ⋅ - 3 - 4 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = - 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

Portanto, o padrão para n ≥ 0 é:

- 3 n = - 1 n n + 2 ! n ! ⋅ 2 ! = - 1 n n + 2 n + 1 2  

Sendo assim, a nossa série é

f x = x + x 2 ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 3 n - x n = x + x 2 ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 n + 1 2 - 1 n x n

f x = x + x 2 ⋅ ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 2 x n

f x = ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 2 x n + 1 + ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 2 x n + 2

f x = ∑ n = 1 ∞ n + 1 n 2 x n + ∑ n = 1 ∞ n + 1 n 2 x n + 1

f x = ∑ n = 1 ∞ n + 1 n 2 1 + x x n

E esta é a nossa série.

Passo 3

Agora que a gente resolveu a letra a), podemos partir para a letra b).

Um questionamento surge ao lermos o que a letra b): qual o motivo da questão pedir para usarmos a série que obtivemos na letra a) para explicar uma função totalmente diferente? Como assim???

Vamos substituir o valor de x = 1 / 2 na nossa série, desenvolve-la e ver o que vamos obter.

f 1 2 = ∑ n = 1 ∞ n + 1 n 2 1 + 1 2 1 2 n

f 1 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 2 + n 4 ⋅ 1 2 n

f 1 2 = 3 4 ∑ n = 1 ∞ n 2 2 n + 3 4 ∑ n = 1 ∞ n 2 n

Utilizando o valor que descobrimos na questão anterior, temos:

f 1 2 = 3 4 ∑ n = 1 ∞ n 2 2 n + 3 4 ⋅ 2

E por fim, calculando quem é f 1 2 , temos:

6 = 3 4 ∑ n = 1 ∞ n 2 2 n + 3 2

∑ n = 1 ∞ n 2 2 n = 6

E pronto, chegamos ao nosso valor!

Resposta

  1. f x = ∑ n = 1 ∞ n + 1 n 2 x n + ∑ n = 1 ∞ n + 1 n 2 x n + 1 = ∑ n = 1 ∞ n + 1 n 2 1 + x x n

∑ n = 1 ∞ n 2 2 n = 6

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