Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.11 - Ex. 16
- Expanda como uma série de potências.
- Use a parte a) para encontrar a soma da série
Passo 1
Para obtermos uma série de potências da nossa função, vamos utilizar a abordagem de séries binomiais. Para isto, precisamos começar relembrando como podemos escrever uma série binomial. Portanto, seja , então,
Portanto, nosso primeiro passo é escrever a função da questão como esta função , identificando cada um dos termos. Logo,
Agora, vamos substituir o valor e no lugar de colocar na série. Sendo assim, temos:
Agora, precisamos expandir esse termo binomial e descobrir o padrão.
Passo 2
Vamos começar a expandir o termo binomial e entender o padrão dele.
Portanto, o padrão para é:
Sendo assim, a nossa série é
E esta é a nossa série.
Passo 3
Agora que a gente resolveu a letra a), podemos partir para a letra b).
Um questionamento surge ao lermos o que a letra b): qual o motivo da questão pedir para usarmos a série que obtivemos na letra a) para explicar uma função totalmente diferente? Como assim???
Vamos substituir o valor de na nossa série, desenvolve-la e ver o que vamos obter.
Utilizando o valor que descobrimos na questão anterior, temos:
E por fim, calculando quem é , temos:
E pronto, chegamos ao nosso valor!