Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 26
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
Passo 1
Fala, turma! Tudo joia?
A série binominal é a expansão de , ficando assim:
Outra notação também é:
No nosso caso temos:
Que podemos reescrever como:
Então o que precisamos fazer aqui é expandir para encontrar a série de que representa a função .
A série binominal sempre converge quando , então usamos essa informação para achar o Raio de Convergência.
Vamos ao passo a passo!
Passo 2
Vamos achar a série binominal de :
Para ficar no formato vamos ter que colocar o 8 em evidência:
Como , vamos ter:
Aqui no nosso caso nosso expoente é:
Podemos montar a função como:
Expandindo alguns elementos podemos colocar o 2 em evidência já que ele vai estar multiplicando todos os termos, temos:
Passo 3
Vamos tentar achar um padrão na soma acima para escrevermos em termos gerais. A partir do terceiro termo já vemos um padrão. Vemos que sempre vamos ter no numerador e no numerador, o denominador tem em todos os termos e também temos uma divisão por 3 no denominador das frações do numerador que se multiplica vezes, então podemos colocar ela no numerador como :
Distribuindo o 2 que está multiplicando o termo nos colchetes:
Passo 4
Pelo critério de convergência que trouxemos no passo 1, para que a série binomial seja convergente:
Ou seja:
Logo o raio de convergência é .