Encontre a série de Maclaurin de (através de qualquer método) e o seu raio de convergência. Faça o gráfico de e os seus primeiros polinômios de Taylor no mesmo gráfico. O que você percebe sobre a relação entre esses polinômios e ?

E aí, galerinha! Tudo tranquilo?

A questão quer que a gente encontre a série de Maclaurin de :

Achar a série de Maclaurin de uma função é expressá-la como uma soma infinita de termos (série) calculados a partir de suas derivadas em um ponto, que aqui para as séries de Maclaurin é . A série de Maclaurin nada mais é que a série de Taylor com e é assim:

Olhando nosso formato de série vemos que o que falta encontrarmos é justamente que são as derivadas de no ponto zero vezes. Encontrando esse termo, nós substituímos em e temos nossa série de Maclaurin pra função que o enunciado pede.

Acontece que geralmente precisamos ter esse trabalho todo com séries de Taylor centradas em outros valores de . Para , temos as séries de Maclaurin e já temos essas séries tabeladas e prontas na teoria do nosso livro, inclusive com seus raios de convergência .

O Raio de convergência da série de Maclaurin para , é

ou seja, a série converge para qualquer valor de .

Por fim a questão pede para traçarmos os polinômios de Taylor da série, que nada mais são que os próprios termos da série, que são do formato de polinômios de .

Traçamos esses polinômios e a nossa função e observamos o comportamento dessas curvas.

Bora?