Use as séries de Maclaurin da Tabela 1 para obter a série de Maclaurin para a função dada.

f(x) = x * cos(2x)

Passo 1

Olá, pessoal, tudo bem?

O exercício nos pede para encontrar a série de Maclaurin para a função f x = x cos ⁡ 2 x .

Primeiramente, vamos analisar a função dada. Temos f x = x cos ⁡ 2 x . Nossa estratégia será utilizar a série de Maclaurin para cos ⁡ x e substituir x por 2 x . Isso nos permite expressar a expressão de uma forma mais simples e aplicar conhecimentos prévios sobre as séries de Maclaurin.

Com o auxílio da Tabela 1, temos que:

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n . x 2 n 2 n !

Passo 2

Dessa forma:

cos ⁡ 2 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n . 2 x 2 n 2 n ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n . 2 2 n x 2 n 2 n !

Passo 3

Então, temos que:

f x = x cos ⁡ 2 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n . 2 2 n 2 n ! x 2 n + 1

Portanto, a série de Maclaurin para a função f x = x cos ⁡ 2 x é ∑ n = 0 ∞ - 1 n . 2 2 n 2 n ! x 2 n + 1 .

Resposta

a série de Maclaurin para a função f x = x cos ⁡ 2 x é ∑ n = 0 ∞ - 1 n . 2 2 n 2 n ! x 2 n + 1 .

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