Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 16
- Aproxime por um polinômio de Taylor com grau em .
- Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.
- Verifique seu resultado na parte (b) traçando
16.
Passo 1
Fala, galera top! Tudo certinho?
Olha só, a questão nos deu uma função e quer, no item (a), uma aproximação dela por um polinômio de Taylor, com e (iremos fazer quatro integrais, show?).
A partir disso, no item (b) pedem pra gente usar uma desigualdade de Taylor e estimar a precisão da aproximação da função com o polinômio de Taylor no intervalo .
E no item (c), verificar o resultado de (b), traçando , que é básicamente .
Bora passo a passo entender e fazer essa questão. Respira, não pira!
Passo 2
No item (a), vamos encontrar os polinômios de Taylor vamos usar o formato da série de Taylor é
Para precisaremos até a quarta derivada, então derivando e substituindo no centro
Então nosso polinômio é
Passo 3
Agora no item (b), para usar a desigualdade de Taylor temos a seguinte relação, se , então
Então para estimar o erro, vamos precisar primeiramente da quinta derivada
Agora precisamos de um valor que seja maior que essa função em todo o intervalo , nesse intervalo o cosseno é positivo e seu valor é decrescente, então podemos afirmar que em temos o seu maior valor, logo
Então podemos usar
Passo 4
Temos então que
Agora precisamos do valor de , se manipularmos o intervalo subtraindo em todas as partes da igualdade
Podemos colocar em módulo
Elevando a quinta potencia
Logo
Passo 5
Já no item (c), vamos começar traçando o gráfico de , para achar a função vamos usar a definição que diz
No plano
Pelo gráfico parece que o erro é menor que .
Resposta
