Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 42

Encontre a série de Maclaurin de (por qualquer método) e seu raio de convergência. Trace e seus primeiros polinômios de Taylor na mesma tela. O que você observa sobre a relação entre esses polinômios e ?

Passo 1

Fala, time! Tudo tranquilo?

A questão quer que a gente encontre a série de Maclaurin de :

Achar a série de Maclaurin de uma função é expressá-la como uma soma infinita de termos (série) calculados a partir de suas derivadas em um ponto, que aqui para as séries de Maclaurin é . A série de Maclaurin nada mais é que a série de Taylor com e é assim:

Olhando nosso formato de série vemos que o que falta encontrarmos é justamente que são as derivadas de no ponto zero vezes. Encontrando esse termo, nós substituímos em e temos nossa série de Maclaurin pra função que o enunciado pede.

Acontece que geralmente precisamos ter esse trabalho todo com séries de Taylor centradas em outros valores de . Para , temos as séries de Maclaurin e já temos essas séries tabeladas e prontas na teoria do nosso livro, inclusive com seus raios de convergência .

Nesse caso aqui, embora o livro traga que o raio de convergência de nossa função tem um argumento diferente de , que no nosso caso é , então vamos precisar calcular o . Achar esse valor é achar para quais valores de nossa série converge. E para isso vamos usar o Teste da Razão, que facilita bastante nossos processos quando temos termos fatoriais, que é o caso da série de Maclaurin. Relembrando o Teste da Razão: calculamos o limite:

Se: a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se a série é divergente (o mesmo para )e se o teste é inconclusivo.

Por fim a questão pede para traçarmos os polinômios de Taylor da série, que nada mais são que os próprios termos da série, que são do formato de polinômios de .

Traçamos esses polinômios e a nossa função e observamos o comportamento dessas curvas.

Bora resolver isso!

Passo 2

Olhando na nossa teoria (Tabela 11 da sessão 11.10), sabemos que a série de Maclaurin para é:

Mas como queremos a série de Maclaurin para , vamos substituir nosso por :

Aplicando a propriedade da potenciação: , simplificamos para:

Então, a série acima é a Série de Maclaurin de .

Passo 3

Agora precisamos encontrar o raio de convergência da nossa série:

E para isso vamos usar o teste da razão. Teremos:

E fazendo :

Simplificando os expoentes de na série acima:

Ficamos com:

Aplicando o teste da razão, já vamos expressão a divisão de frações como a multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda:

Para simplificar nosso termo dentro do limite, vamos abrir as somas nos expoentes com a propriedade da potenciação:

Simplificando os termos iguais que estão sendo divididos:

Novamente simplificando, já podemos também retirar os termos que não dependem do de dentro do módulo, sendo que vai sair positivo. Mantemos o módulo no :

Para simplificar nossa análise, vamos dividir o numerador e o denominador por :

O teste da razão diz que a série converge quando . No caso temos:

Tirando a raiz sexta da inequação:

E o raio de convergência? Como a série converge para o raio de convergência é . 😉

Passo 4

Alguns polinômios de Taylor da série:

são:

Com :

Até :

Traçando o gráfico de e alguns polinômios de Taylor no software GeoGebra, vemos que nos dá uma aproximação de próxima a 0 conforme cresce.

Nossa função:

Está em verde e os polinômios nas demais cores. Quanto maior o grau do polinômio (expoente ), mais o polinômio se aproxima do formato de na região da origem .