Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 13
Encontre a série de Taylor de centrada no valor dado de . [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Fala, turma! Como estão?
A questão quer que a gente encontre a série de Taylor de que no nosso caso é:
Centrada em e seu raio de convergência .
A série de Taylor de uma função nos oferece uma maneira poderosa e precisa de aproximar e estudar funções usando polinômios. A precisão da aproximação depende do número de termos que usamos da série. Quanto mais termos, mais próxima será a nossa representação da função original.
Pra gente escrever uma função como uma série de Taylor, fazemos:
Onde a é a enésima derivada da nossa função no nosso ponto , que para nós é . A gente obtém esse termo derivando nossa função várias vezes.
Os termos da série de Taylor são do formato:
Então precisamos encontrar derivando várias vezes e depois escrever os termos da série.
Bora pro passo a passo da resolução!
Passo 2
Aqui o enunciado nos deu que , então, vamos encontrar quanto é nosso termo:
Podemos montar a seguinte tabela, para alguns valores de . Aqui é o valor da função derivada vezes e é com .
Se fossemos continuar para em diante que a derivada ia continuar dando . Então temos uma série com 5 termos. Vamos ver como ela fica no próximo passo.
Passo 3
Podemos escrever como:
Usando os dados do passo 1, temos os 5 termos:
A série de Taylor então é:
Para nosso caso ficará:
Usamos a soma de 0 até 4 pois a partir do termo nossos termos são iguais a zero.
Em resumo nossa função:
Pode ser rescrita pela série:
Passo 4
Agora falta acharmos o raio de convergência . Nesse caso nem precisamos fazer contas. A gente viu que nossa série tem só 5 termos, então é uma série finita.
Uma série finita converge para todo , ou seja, nenhum valor que possa assumir vai mudar o fato de que a soma dos 5 termos vai se aproximar de certo valor.
Como não temos nenhuma restrição para os valores de , então dizemos que o raio de convergência é .
Resposta
O raio de convergência é