Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R_n(x) → 0. ] Também encontre o raio de convergência associado.

f(x) = 2^x

Passo 1

Salve, salve, pessoal! Tudo numa boa?

A questão quer que a gente encontre a série de Maclaurin de:

f x = 2 x

Achar a série de Maclaurin de uma função é expressá-la como uma soma infinita de termos (série) calculados a partir de suas derivadas em um ponto, que aqui para as séries de Maclaurin é x = 0 . A série de Maclaurin nada mais é que a série de Taylor com a = 0 e é assim:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n = f 0 + f ' 0 1 ! x + f ' ' 0 2 ! x 2 + …

Olhando nosso formato de série vemos que o que falta encontrarmos é justamente f n 0 que são as derivadas de f ( x ) no ponto zero n vezes. Encontrando esse termo, nós substituímos em ∑ f n 0 n ! x n e temos nossa série de Maclaurin pra função que o enunciado pede.

Achar o raio de convergência R de uma série é achar para quais valores de x   nossa série converge. E para isso vamos usar o Teste da Razão, que facilita bastante nossos processos quando temos termos fatoriais, que é o caso da série de Maclaurin. Relembrando o Teste da Razão: calculamos o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L      

Se: L < 1 → a série ∑ a n é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se L > 1 → a série ∑ a n é divergente (o mesmo para L = ∞ ) e se L = 1 → o teste é inconclusivo.

Bora então!

Passo 2

O enunciado nos deu que:

f x = 2 x

Agora vamos achar os valores de:

f n 0

Para cada derivada de f x .

n é a ordem da derivada. Então quando n = 0 temos a própria função, já que ainda não foi derivada. Quando n = 1 é a primeira derivada, quando n = 2 temos a segunda derivada que é a derivada de n = 1 derivada mais uma vez, e assim sucessivamente.

Como são muitas derivadas, vamos organizar tudo em uma lista. Aqui f n x é o valor da função derivada n vezes e   f n 0 é f n x com x = 0 .

Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = 0 .

Podemos montar a seguinte tabela, para alguns valores de n :

Passo 3

Podemos escrever f ( x )   como foi dado no passo 1 para o formato de uma série de Maclaurin:

2 x = f 0 + f ' 0 x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 !   x 3 + f 4 ( 0 ) 4 ! x 4 + f 5 ( 0 ) 5 ! x 5 + ⋯  

Usando os dados do passo 2, temos:

2 x = 1 + l n 2 x + l n 2 2 2 ! x 2 + l n 2 3 3 !   x 3 + ⋯

Podemos então representar essa expressão em termos da série. Note que o numerador é sempre uma potência de n com base l n 2 , x é sempre uma potência de n e o denominador é n ! , etnão:

∑ n = 0 ∞ l n 2 n n ! x n

Essa é a Série de Maclaurin para f x = 2 x

Passo 4

Precisamos achar a convergência de:

∑ n = 0 ∞ l n 2 n n ! x n

Pelo Teste da Razão. Para nossa questão, temos:

a n = l n 2 n n ! x n

Fazendo n = n + 1 :

a n + 1 = l n 2 n + 1 ( n + 1 ) ! x n + 1

Para encontrarmos o raio de convergência, podemos fazer

lim n → ∞ ⁡ a n + 1   a n

Então já vamos escrever essa divisão de frações como uma multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda. Como temos módulo, já podemos eliminar os termos negativos - 1 n + 1   e - 1 n :

lim n → ∞ ⁡ l n 2 n + 1 x n + 1 n + 1 ! ⋅ n ! l n 2 n x n    

Abrindo as somas no expoente com a propriedade: b m + n = b m   ⋅ b n

lim n → ∞ ⁡ l n 2 n ⋅ l n 2 ⋅ x n ⋅ x 1 n + 1 ! ⋅ n ! l n 2 n x n     = lim n → ∞ ⁡ n ! ⋅ l n 2 ⋅ x 1 n + 1 !

Abrindo os termos fatoriais, simplificando os termos e já retirando os termos de dentro do módulo:

lim n → ∞ ⁡ n ! ⋅ l n 2 ⋅ | x 1 | n + 1 ⋅ n ! = l i m n → ∞ l n 2 | x | n + 1

Por fim já podemos calcular nosso limite:

lim n → ∞ ⁡ l n 2 | x | n + 1 = 0 < 1

Nosso limite é L = 0 . O teste da razão diz que para que a série seja convergente L < 1 . Então aqui vamos precisar que L = 0 < 1 e isso é verdade para qualquer valor de x .

Como não temos nenhuma restrição para o valor de x na nossa série, seu raio de convergência é:

R = ∞

Resposta

R = ∞

∑ n = 0 ∞ l n 2 n n ! x n

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