Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 9
Encontre a série de Maclaurin de usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que ] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Salve, salve, pessoal! Tudo numa boa?
A questão quer que a gente encontre a série de Maclaurin de:
Achar a série de Maclaurin de uma função é expressá-la como uma soma infinita de termos (série) calculados a partir de suas derivadas em um ponto, que aqui para as séries de Maclaurin é . A série de Maclaurin nada mais é que a série de Taylor com e é assim:
Olhando nosso formato de série vemos que o que falta encontrarmos é justamente que são as derivadas de no ponto zero vezes. Encontrando esse termo, nós substituímos em e temos nossa série de Maclaurin pra função que o enunciado pede.
Achar o raio de convergência de uma série é achar para quais valores de nossa série converge. E para isso vamos usar o Teste da Razão, que facilita bastante nossos processos quando temos termos fatoriais, que é o caso da série de Maclaurin. Relembrando o Teste da Razão: calculamos o limite:
Se: a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se a série é divergente (o mesmo para ) e se o teste é inconclusivo.
Bora então!
Passo 2
O enunciado nos deu que:
Agora vamos achar os valores de:
Para cada derivada de
é a ordem da derivada. Então quando temos a própria função, já que ainda não foi derivada. Quando é a primeira derivada, quando temos a segunda derivada que é a derivada de derivada mais uma vez, e assim sucessivamente.
Como são muitas derivadas, vamos organizar tudo em uma lista. Aqui é o valor da função derivada vezes e é com .
Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir .
Podemos montar a seguinte tabela, para alguns valores de :
Passo 3
Podemos escrever como foi dado no passo 1 para o formato de uma série de Maclaurin:
Usando os dados do passo 2, temos:
Podemos então representar essa expressão em termos da série. Note que o numerador é sempre uma potência de com base , é sempre uma potência de e o denominador é , etnão:
Essa é a Série de Maclaurin para
Passo 4
Precisamos achar a convergência de:
Pelo Teste da Razão. Para nossa questão, temos:
Fazendo :
Para encontrarmos o raio de convergência, podemos fazer
Então já vamos escrever essa divisão de frações como uma multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda. Como temos módulo, já podemos eliminar os termos negativos e :
Abrindo as somas no expoente com a propriedade:
Abrindo os termos fatoriais, simplificando os termos e já retirando os termos de dentro do módulo:
Por fim já podemos calcular nosso limite:
Nosso limite é . O teste da razão diz que para que a série seja convergente . Então aqui vamos precisar que e isso é verdade para qualquer valor de .
Como não temos nenhuma restrição para o valor de na nossa série, seu raio de convergência é: