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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 5

Use a definição da série de Taylor para encontrar os quatro primeiros termos não nulos da série para f ( x ) centrada no valor dado de a . Para a série:

f x = x e x ,   a = 0

Passo 1

Vamos lá meu caro amigo, temos uma função f x = x e x   centrada em a = 0 , e precisamos encontrar os 4 primeiros termos não nulos através da definição da série de Taylor. Vamos nos recordar então qual é a definição da série de Taylor?

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

= f a + f ' a 1 ! x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2 + f ' ' ' a 3 ! x - a 3 + …

Essa, meu amigo, é a definição geral, mas não precisamos da definição geral. Justamente porque a = 0 . Podemos utilizar um caso especial:

f x = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) 0 n ! x n = f 0 + f ' 0 1 ! x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f 4 0 4 ! x 4 + …

Agora que sabemos qual teorema vamos utilizar, vamos colocar a mão na massa?!

Passo 2

Sabendo que a nossa função é: f x = x e x e com o auxílio da equação apresentada no passo 1, temos que a série de Taylor será dada por:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) 0 n ! x n = f 0 + f ' 0 1 ! x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f 4 0 4 ! x 4

Fazendo as derivas:

f x = x e x

f ' x = e x + e x x

f ' ' x = e x + e x + x e x

f ' ' ' x = e x + e x + e x +   x e x

f ' ' ' x = e x + e x + e x +   e x + x e x

Sendo x = 0 , pela definição da série de Taylor:

f x = 0   .   1 = 0

f ' x = 1 + 0

f ' ' x = 1 + 1 + 0 = 2

f ' ' ' x = 1 + 1 + 1 + 0 = 3

f ' ' ' x = 1 + 1 + 1 + 1 + 0 = 4

Portanto:

∑ n = 0 4 f n 0 n ! x n = 0 0 ! x 0 + 1 1 ! x 1 + 2 2 ! x 2 + 3 3 ! x 3 + 4 4 ! x 4

Veja que estamos ignorando o termo f 0 = 0 . Pois o enunciado pede os 4 primeiros termos não-nulos. Que são:

1 1 ! x + 2 2 ! x 2 + 3 3 ! x 3 + 4 4 ! x 4

= x + x 2 + 1 2 x 3 + 1 6 x 4

Passo 3

Agora, substituindo os valores, obtemos:

Resposta

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