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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 21

Encontre a série de Taylor para f ( x ) usando o valor dado a . [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.

21.

f x = l n x ,             a = 2

Passo 1

Fala, galera!

Precisamos encontrar a série de Taylor para a função que a questão nos deu, usando o valor de a também dado. Além disso, precisamos descobrir o raio de convergência. Moleza, né?

Vamos analisar a fun��ão:

f x = ln ⁡ x ,   a = 2

A série de Taylor será dada por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

Onde também podemos representar dessa forma:

f x = f a 0 ! + f ' a 1 ! ⋅ x - a 1 + f ' ' a 2 ! ⋅ x - a 2 + f ' ' ' a 3 !   ⋅ x - a 3 + f 4 a 4 ! ( x - a ) 4 + …

Passo 2

Por isso, vamos fazer derivadas da nossa função, substituindo x = a , ou seja, x = 2 .

f x = l n x → f 2 = l n 2

f ' x = 1 x → f ' 2 = 1 2

f ' ' x = - 1 x 2 → f ' ' 2 = - 1 4

f ' ' ' x = 2 x 3 → f ' ' ' 2 = 2 8

f 4 x = - 6 x 4 → f 4 2 = - 6 16

f 5 x = 24 x 5 → f 5 2 = 24 32

Temos, que essa sequência pode ser representada por:

f x = ln ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ f n 2 n ! x - 2 n

Agora vamos substituir naquela fórmula grandona lá de cima e fazer a mágica acontecer:

f x =   f 2 + f ' 2 ⋅ x - 2 + f ' ' 2 2 ! ⋅ x - 2 2 + f ' ' ' 2 3 ! ⋅ x - 2 3 + …

= l n 2 + 1 2 ⋅ x - 2 - 1 8 ⋅ x - 2 2 + 1 24 ⋅ x - 2 3 + …

Tá observando uma sequência? Principalmente nos denominadores? Assim, vamos representar nossa série:

ln ⁡ 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n - 1 ! n ! 2 n x - 2 n

Podemos cancelar alguns termos:

ln ⁡ 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n - 1 ! n ⋅ n - 1 ! ⋅ 2 n x - 2 n

l n 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 ⋅ x - 2 n 2 n n

Passo 3

Para descobrir o raio de convergência, jogamos na fórmula do Teste da Razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Onde para convergir o resultado deve ser < 1 .

Seja a n = - 1 n + 1 ��� x - 2 n 2 n n e seja a n + 1 = - 1 n + 2 x - 2 n + 1 2 n + 1 ( n + 1 ) , vamos descobrir:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 2 x - 2 n + 1 2 n + 1 ( n + 1 ) - 1 n + 1 ⋅ x - 2 n 2 n n

Pela divisão de frações, invertemos o denominador multiplicando-o:

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 2 x - 2 n + 1 2 n + 1 ( n + 1 ) . 2 n n - 1 n + 1 x - 2 n

Colocando termos em evidência e cancelando:

lim n → ∞ ⁡ - 1 n ⋅ - 1 2 ⋅ x - 2 n ⋅ x - 2 1 2 n ⋅ 2 1 ⋅ ( n + 1 ) . 2 n ⋅ n - 1 n ��� - 1 1 ⋅ x - 2 n

lim n → ∞ ⁡ - 1 x - 2 n 2 n + 1

Organizando os termos:

lim n → ∞ ⁡ - n x - 2 2 n + 1

lim n → ∞ ⁡ n 2 - x 2 n + 1

Pra gente não ter um limite indeterminado, substituindo e ficando com ∞ ∞ , então vamos manipular um pouco mais:

lim n → ∞ ⁡ n 2 n + 1 ⋅ 2 - x

= 1 2 x - 2

Dessa forma, temos que, para convergência:

x - 2 2 < 1 → x - 2 < 2

E, consequentemente:

R = 2

Resposta

l n 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 ⋅ x - 2 n 2 n n

R = 2

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