Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 19
Encontre a série de Taylor para usando o valor dado . [Assuma que possui uma expansão em série de potências. Não mostre que Encontre também o raio de convergência associado.
Passo 1
Fala, galerinha boa! Belezinha?
A questão quer que a gente encontre a série de Taylor de que no nosso caso é:
Centrada em e seu raio de convergência . Vamos ter a visão geral de como fazemos cada parte aqui nesse primeiro passo.
Primeiro precisamos encontrar a série de Taylor. Para encontrar a série de Taylor de uma função centrada em um ponto significa expressar a função como uma soma infinita (que já sabemos que são séries) de termos polinomiais baseados nas derivadas de em . Pra gente escrever uma função como uma série de Taylor, fazemos:
Onde a é a enésima derivada da nossa função no nosso ponto , que para nós é . A gente obtém esse termo derivando nossa função vezes e achando a primeira, segunda, terceira derivada e assim por diante. Os termos da série de Taylor são do formato:
Então precisamos encontrar derivando várias vezes. Encontrando esse termo, nós substituímos em e temos nossa série de Maclaurin pra função que o enunciado pede.
Por fim, vamos entender como se encontra o raio de convergência . O raio de convergência tem relação com os valores de que fazem nossa série de Taylor convergir. Para séries infinitas podemos usar testes como o da Razão e para séries finitas, ou seja, que tem um número limitado de termos na soma, nós dizermos que .
Vem comigo! Vamos por partes!
Passo 2
Aqui o enunciado nos deu que , então, vamos encontrar quanto é nosso termo:
Podemos montar a seguinte lista, para alguns valores de . Aqui é o valor da função derivada vezes e é com . A primeira derivada é a função derivada uma vez, a segunda derivada é a função derivada duas vezes, a terceira derivada é a função derivada três vezes e assim por diante.
Veja alguns valores das derivadas e de seus valores em .
Função original e seu valor em .
Primeira derivada e seu valor em .
Segunda derivada e seu valor em .
Terceira derivada e seu valor em .
Quarta derivada e seu valor em .
Quinta derivada e seu valor em .
Sexta derivada e seu valor em .
A partir da sétima derivada todas as derivadas da função serão iguais a zero. Então a série só vai ter 6 termos.
Passo 3
Dessa forma podemos escrever a série de Taylor como:
E seus termos terão o formato:
Simplificando:
Como nossa série é uma série finita, com somente 6 termos, não precisamos achar o termo geral:
Em termos de , já que ao invés de infinitos termos, vamos ter 6 valores que pode assumir.
Então, nossa série de Maclaurin será:
Passo 4
Geralmente nós usamos algum teste para testar a convergência da série infinita. Aqui nós temos uma série finita, com variando de 1 a 5.
Uma série finita converge para qualquer valor de . Como não há restrições para os valores que pode assumir, dizemos que a série tem um raio de convergência infinito: