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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 6

Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de convergência associado.

f x = ln ⁡ ( 1 + x )

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem?!

Vamos resolver essa questão passo a passo.

Para encontrar a série de Maclaurin para f x = ln ⁡ ( 1 + x ) , usaremos a definição da série de Maclaurin e derivaremos a função f x algumas vezes para encontrar os coeficientes da série. A série de Maclaurin é dada por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Vamos começar derivando a função f x e substituindo x = 0 para encontrar os coeficientes da série. Como a função f x é uma função conhecida, podemos calcular suas derivadas e determinar uma expressão geral para os coeficientes da série

Passo 2

Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = 0 para encontrar os coeficientes da série.

f x = ln ⁡ ( 1 + x ) ⇒ f 0 = 0

f ' x = 1 1 + x ⇒ f ' 0 = 1

f ' ' x = - 1 1 + x - 2 = - 1 1 + x 2 ⇒ f ' ' 0 = - 1

f ' ' ' x = ( - 2 ) - 1 1 + x - 3 = 2 1 + x 3 ⇒ f ' ' ' 0 = 2 = 2 !

Podemos perceber o padrão, de forma geral: para n ≥ 1 , temos f n 0 = - 1 n + 1 ( n - 1 ) ! . Para n = 0 , f 0 = 0 .

Passo 3

Agora podemos montar a série de Maclaurin para a função:

f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n - 1 ! n ! x n

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 x n n

Passo 4

Agora, para calcular o raio, vamos usar o teste da razão.

O teste da razão para uma série ∑ ​ ​ a n é dado por:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Agora, aplicamos o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 ⋅ n x n

= lim n → ∞ ⁡ n x n + 1 = x lim n → ∞ ⁡ n n + 1

= x

Então, para convergir, x < 1 , e o raio da série é R = 1 .

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x n n

R = 1

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