Se f x = ∑ n = 0 ∞ b n x - 5 n para todo x , escreva uma fórmula para b 8 .

Passo 1

Fala, pessoal! Como cês tão?

A questão quer uma expressão para b 8 que é o oitavo termos de b n , que está em:

f x = ∑ n = 0 ∞ b n x - 5 n

Mas o problema aqui é que não sabemos a expressão de b n e é isso que precisamos encontrar nessa questão antes de tudo.

Para fazer isso vamos pensar assim: tá vendo como a série está representando uma função f ( x ) . Essas séries infinitas que representam funções através de polinômios como esses que temos na série dada: x - 5 n   se chamam séries de Taylor e tem uma cara assim:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! ( x - a ) n

Onde a f n a é a enésima derivada da nossa função no nosso ponto a , que para nós é a = 5 . A gente obtém esse termo derivando nossa função n vezes.

Passo 2

Nossa série é:

f x = ∑ n = 0 ∞ b n x - 5 n

Bom, comparando nossa série com a série de Taylor, podemos ver que:

a = 5

E:

b n = f n a n ! = f n 5 n !

Então com n = 8

b 8 = f 8 ( 5 ) 8 !

Resposta

b 8 = f 8 ( 5 ) 8 !

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