Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 16
Encontre a série de Taylor de centrada no valor dado de . [Suponha que tenha expansão em uma série de potencias. Não mostre que .] Também encontre o Raio de Convergência associado.
Passo 1
E aí, pessoal! Como vocês estão?
A questão quer que a gente encontre a série de Taylor de que no nosso caso é:
Centrada em e seu raio de convergência .
Encontrar a série de Taylor de uma função centrada em um ponto significa expressar a função como uma soma infinita (que já sabemos que são séries) de termos polinomiais baseados nas derivadas de em . Pra gente escrever uma função como uma série de Taylor, fazemos:
Onde a é a enésima derivada da nossa função no nosso ponto , que para nós é . A gente obtém esse termo derivando nossa função vezes.
Os termos da série de Taylor são do formato:
Então precisamos encontrar derivando várias vezes. Encontrando esse termo, nós substituímos em e temos nossa série de Maclaurin pra função que o enunciado pede.
A questão também pede para acharmos o raio de convergência , que tem relação com os valores de para os quais a série de Maclaurin vai convergir. Dos métodos que usamos para achar a convergência de uma série, o mais indicado para nós quando temos séries de Maclaurin é o Teste da Razão, já que ele simplifica bastante análise de séries com termos fatoriais.
- Teste da Razão: Calculamos o limite:
Se: a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se a série é divergente (o mesmo para ).
Bora então?
Passo 2
Aqui o enunciado nos deu que , então, vamos encontrar quanto é nosso termo:
Podemos montar a seguinte lista, para alguns valores de . Aqui é o valor da função derivada vezes e é com .
Função original e seu valor em .
Primeira derivada e seu valor em .
Segunda derivada e seu valor em .
Terceira derivada e seu valor em .
Podemos achar o padrão, de forma geral
Passo 3
Então temos que a série de Taylor para é
Essa é nossa série de Taylor para a função .
Passo 4
Vamos procurar a convergência de:
Temos:
E fazendo :
Veja que como vamos ter um módulo no limite, já podemos ignorar o sinal de menos que a série tem para fora da soma.
Calculamos o limite, multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda (divisão de frações):
Abrindo as somas no expoente com a propriedade: :
Simplificando os termos, já podemos calcular o limite:
Passo 5
Nosso limite é
O teste da razão diz que para que a série seja convergente . Então aqui vamos precisar que
Resolvendo a inequação, multiplicamos por 3:
Então o Raio de Convergência é: