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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 56

Mostre que a série de Taylor para f ( x ) = t g^(- 1) x diverge para | x | > 1 .

Passo 1

E aí, pessoal! Ficaram em dúvida nesta questão? Então, me acompanhe aí na resolução!

Para resolver essa questão, precisamos voltar num conceito importante da seção 10.5: o teste da razão. Esse teste diz que se

underset(n -> oo)(l i m) |(a_n + 1)/(a_n)| < 1 ,

então a série converge. Ou seja, para provar que a série diverge, temos que mostrar que

underset(n -> oo)(l i m) |(a_n + 1)/(a_n)| > 1

Passo 2

A série de t g^(- 1) x é dada por

t g^(- 1) x = x - (x^3)/(3) + (x^5)/(5) - * * * + ( - 1 )^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1) + * * *

=> t g^(- 1) x = sum_(n = 0)^(oo) ( - 1 )^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)

Com isso, podemos obter os termos

a_n = ( - 1 )^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)

e

a_n + 1 = ( - 1 )^(n + 1) (x^(2 n + 3))/(2 n + 3)

Passo 3

Agora vamos tomar a razão entre esses dois termos

(a_n + 1)/(a_n) = (( - 1 )^(n + 1) (x^(2 n + 3))/(2 n + 3))/(( - 1 )^n (x^(2 n + 1))/(2 n + 1)) = - ((x^(2 n + 3))/(2 n + 3)) ((2 n + 1)/(x^(2 n + 1)))

(a_n + 1)/(a_n) = - ((2 n + 1)/(2 n + 3)) x^2 = - ((2 + 1 // n)/(2 + 3 // n)) x^2

Tomando o limite, ficamos com

underset(n -> oo)(l i m) |(a_n + 1)/(a_n)| = | x^2 | underset(n -> oo)(l i m) (2 + 1 // n)/(2 + 3 // n) = | x^2 | (2)/(2) = | x^2 |

Então, se | x | > 1 , temos

underset(n -> oo)(l i m) |(a_n + 1)/(a_n)| > 1

o que significa que a série diverge. Gostou? Responde Aí!

Resposta

Veja a resolução acima.

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