Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

10.

f(x) = (x + a) / (x^2 + a^2), a > 0

Passo 1

Fala, gente bonita!

O enunciado pede pra gente representar a função

f x = x + a x 2 + a 2 ,           a > 0

como uma série de potências e depois quer o intervalo de convergência. Moleza, né?

Precisamos representar essa função como soma da série geométrica infinita, assim:

1 a 2 1 - - x a 2 = a 1 1 - r

Onde a 1 é o primeiro termo do somatório e r a razão.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a função como:

∑ n = 0 ∞ a 1 ⋅ r n

Como temos que

a 1 = 1 a 2

r = - x a 2

Então, substituindo, chegaremos a

f x = a a 2 x a + 1 1 - - x 2 a 2

1 a ∑ n = 0 ∞ - x 2 a 2 n

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n a 2 n + 1

Passo 3

Sendo assim, a série converge quando r < 1 , então

- x 2 a 2 < 1

x < a

Dessa forma, encontramos o raio. Portanto, o intervalo de convergência é:

- a < x < a

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n a 2 n + 1

I = - a , a

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