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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 61

Obtenha a série de Taylor para 1 / ( 1   +   x ) 2 a partir da série para - 1 / ( 1 + x ) .

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo bem? Então, me acompanha aí em mais uma questão!

Vamos começar escrevendo 1 1   +   x e como séries de potências e, a partir disso, obter - 1 1   +   x :

1 1   +   x = 1 - x + x 2 -   ⋯   + ( - 1 ) n x n +   ⋯   = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n ,   | x | < 1

- 1 1   +   x = - 1 + x - x 2 +   ⋯   + ( - 1 ) n + 1 x n +   ⋯   = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n + 1 x n ,   | x | < 1

Passo 2

Beleza, agora temos que multiplicar - 1 1   +   x por ela mesmo para obter 1 / ( 1   +   x ) 2 :

1 ( 1   +   x ) 2 = - 1 1   +   x - 1 1   +   x

1 ( 1   +   x ) 2 = - 1 + x - x 2 + ⋯ + ( - 1 ) n + 1 x n + ⋯ - 1 + x - x 2 + ⋯ + ( - 1 ) n + 1 x n + ⋯

Passo 3

Vamos olhar bem para cada termo da multiplicação:

para - 1 :

- 1 ⋅ - 1 + x - x 2 + ⋯ + ( - 1 ) n + 1 x n + ⋯   = 1   - x   + x 2 - ⋯ + ( - 1 ) n x n +   ⋯  

⇒ - 1 ⋅ - 1 + x - x 2 + ⋯ + ( - 1 ) n + 1 x n + ⋯   = ∑ n = 0 ∞   ( - 1 ) n x n  

para x :

x ⋅ - 1 + x - x 2 + ⋯ + ( - 1 ) n + 1 x n + ⋯   = - x   + x 2   - x 3 + ⋯ + ( - 1 ) n + 1 x n + 1 +   ⋯

⇒ x ⋅ - 1 + x - x 2 + ⋯ + ( - 1 ) n + 1 x n + ⋯   = ∑ n = 1 ∞   ( - 1 ) n x n

para - x 2 :

- x 2 ⋅ - 1 + x - x 2 + ⋯ + ( - 1 ) n + 1 x n + ⋯   = x 2   - x 3   + x 2 + ⋯ + ( - 1 ) n + 2 x n + 2 +   ⋯

⇒ - x 2 ⋅ 1 - x + x 2 - ⋯ + ( - 1 ) n x n + ⋯   = ∑ n = 2 ∞   ( - 1 ) n x n

E assim por diante.

Passo 4

Então, quando somarmos os produtos, veremos a seguinte sequência:

1 ( 1   +   x ) 2   = 1 -   2 x + 3 x 2 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n ( n + 1 )   x n +   ⋯   = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( n + 1 )   x n  

Prontinho, obtivemos a série. Até a próxima, pessoal!

Resposta

1 ( 1   +   x ) 2 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( n + 1 )   x n

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