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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 55

De acordo com o teorema da estimativa de séries alternadas, quantos termos da série de Taylor para t g   - 1   1 teriam de ser adicionados para se ter certeza de encontrar π / 4 com um erro de magnitude menor que 1 0 - 3 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

E aí, pessoal? Prontos para mais uma questão? Então, bora lá!

Nessa questão, vamos obter a série para t g   - 1   1 , ver como é o termo geral e encontrar o n tal que esse termo seja menor ou igual a 1 0 - 3 .

Como a série de t g - 1   t

  t g - 1   t = t - t 3 3 + t 5 5 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n t 2 n + 1 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

então, fazendo t = 1 a gente consegue t g - 1   1 :

  t g - 1   1 = 1 - 1 3 3 + 1 5 5 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n 1 2 n + 1 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

  t g - 1   1 = 1 - 1 3 + 1 5 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n 1 2 n + 1 +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

No passo anterior, ficamos que o enésimo termo da série vai ter a forma

( - 1 ) n 1 2 n + 1

Então, a ideia aqui é descobrir para qual n esse fator vai ser menor ou igual a 1 0 - 3 . Fazemos isso igualando o enésimo termo a 1 0 - 3 e vamos ver qual o inteiro n mais se aproxima disso:

| ( - 1 ) n 1 2 n + 1 | ≤ 1 0 - 3

⇒ 1 2 n + 1 ≤ 1 0 - 3 ⇒ 1 1 0 - 3 ≤ 2 n + 1

1 0 3 ≤ 2 n + 1 ⇒ 1000 ≤ 2 n + 1 ⇒ n = 500

Ou seja, para n = 500 , temos 2 n + 1 maior que 1000 . Ou seja, a partir do termo n = 500 , temos um erro menor que 1 0 - 3 . Além disso, pelo teorema da estimativa de séries alternadas, os termos após n = 500 , todos somados, contribuem com menos que 1 0 - 3 . Logo, temos que somar, pelo menos, 500 termos para ter esse erro.

Resposta

500 termos

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