Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.10 - Ex. 4
Encontre a série de Maclaurin usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .] Também encontre o raio de convergência associado.
08.
Passo 1
Fala, galera, tudo show?
Pela definição da série de Maclaurin, a questão pede pra gente encontrar uma série desse camarada pela função que nos deu. Além disso, quer o raio de convergência.
A série de Maclaurin é da forma
Onde é a derivada de ordem da função no ponto central da série .
Então vamos achar as derivadas, substituir no ponto e encontrar um padrão dessas derivadas nesse ponto.
Passo 2
Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir
Podemos perceber um padrão. De forma geral, temos que para termos ímpares:
e para os pares
Então a série para a função é
Repara que o fatorial acompanha os valores da potencia de , porque como não temos termos pares, os fatoriais destes termos somem junto do termo geral.
Passo 3
Para calcular o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Se o resultado for
Então converge.
Quem seria nosso e nosso ?
Logo, vamos fazer a mágica!
Como temos uma divisão de frações, repetimos o numerador e invertemos a ordem do numerador, multiplicando-o:
O limite é para todo , então a série de Maclaurin para o converge para todo , portanto seu raio é infinito.