Determine e faça o esboço do domínio da função.

f(x, y) = raiz(x^2 + y^2 - 1) + ln(4 - x^2 - y^2)

Passo 1

Fala ai, tudo certinho?

Patriu resolver um exercícios?

Para resolver o problema vamos primeiro determinar o domínio da função f x , y = x 2 + y 2 - 1 + ln ⁡ 4 - x ² - y ² , verificar a expressão dentro da raiz quadrada e o argumento do logaritmo. Podemos comparar as duas condições para encontrar o domínio, que é a região entre as curvas. E finalizamos fazendo um esboço no plano cartesiano para visualizar a região válida.

O gráfico nos ajudará a entender melhor onde a função é definida.

Mãos a OBRA!

Passo 2

Queremos determinar o domínio de f ( x , y ) . Ou seja, queremos saber que valores de x , y que podem ser usados para que f ( x , y ) seja real.

Para definir o domínio é melhor olharmos para as restrições.

f x , y = x 2 + y 2 - 1 + ln ⁡ 4 - x 2 - y 2

Note que temos duas indeterminações:

A primeira se dá por conta da raiz, então sabemos que

x 2 + y 2 - 1 ≥ 0

Ou até mesmo

x 2 + y 2 ≥ 1

Com raio igual a 1

Passo 3

E a segunda é por causa do ln, então sabemos que

4 - x 2 - y 2 > 0

Ou até mesmo

x 2 + y 2 < 4

Com raio igual a 2

Assim, o domínio de f é

D = { ( x , y ) | 1 ≤ x 2 + y 2 < 4 }

Passo 4

O domínio da função será a interseção dessas duas regiões:

- A região fora ou sobre o círculo de raio 1.

- A região dentro do círculo de raio 2.

Portanto, o domínio da função é o anel entre os círculos de raios 1 e 2, excluindo o círculo de raio 2.

Resposta

D = { ( x , y ) | 1 ≤ x 2 + y 2 < 4 }

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