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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 57

Encontre a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 57-64.

57. 1 1 - 2 x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que a função 1 1 - 2 x ​. Temos que encontrar a série de Taylor em x = 0 para a função dada. A função é a soma de uma série geométrica convergente com primeiro termo a = 1 e razão r = 2 x . Portanto

1 1 - 2 x = 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + … = ∑ n = 0 ∞ 2 x n

Isolando o termo 2 n

1 1 - 2 x = ∑ n = 0 ∞ 2 n x n

Que é uma série geométrica com razão comum 2 x . Assim, a série de Taylor é válida para todo x satisfaz

2 x < 1 → x < 1 2 → - 1 2 < x < 1 2

Resposta

1 1 - 2 x = ∑ n = 0 ∞ 2 n x n ,     p a r a   x < 1 2

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