Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 2
Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.
2.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
No início da tarefa, notamos que o n-ésimo membro da sequência depende da seleção de .
Se é par, então a expressão é igual a e o termo é dado por
Já no caso do ser ímpar, a expressão é igual a , e é dada por
A sequência converge se o limite
existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a . Mas o que acontece para o n-ésimo termo de quando tende para infinito?
Passo 2
Como a notação depende de ser par ou ímpar, observaremos o que acontece com no infinito quando é par e depois quando é ímpar.
Quando é par, então é dado por . Como a sequência é uma sequência constante para um número par , então converge para esse número. Ou seja, converge para o número :
Quando é ímpar, então é dado por . Quando se aproxima do infinito, então também vai ao infinito. Como um numerador é um número constante e o denominador se torna cada vez maior à medida que se aproxima do infinito, então a fração vai para 0. Ou seja, vale:
Passo 3
Independentemente de ser par ou ímpar, o enésimo termo da sequência converge para o número . Resumindo, escrevemos como
Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência converge.