Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.

2. a_n = (1 - (-1)^n) / raiz(n)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, notamos que o n-ésimo membro da sequência depende da seleção de n .

Se n é par, então a expressão - 1 n é igual a 1 e o termo a n é dado por

a n = 1 - 1 n = 0

Já no caso do n ser ímpar, a expressão - 1 n é igual a - 1 , e a n é dada por

a n = 1 + 1 n = 2 n

A sequência { a n } converge se o limite

lim n → ∞ ⁡ a n

existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a . Mas o que acontece para o n-ésimo termo de a n quando n tende para infinito?

Passo 2

Como a notação a n depende de n ser par ou ímpar, observaremos o que acontece com a n no infinito quando n   é par e depois quando n é ímpar.

Quando n é par, então a n é dado por a n = 0 . Como a sequência { a n } é uma sequência constante para um número par n , então converge para esse número. Ou seja, converge para o número 0 :

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 0 = 0   n   p a r

Quando n é ímpar, então a n ​ é dado por a n = 2 n . Quando n se aproxima do infinito, então n também vai ao infinito. Como um numerador é um número constante e o denominador se torna cada vez maior à medida que n se aproxima do infinito, então a fração 2 n ​ vai para 0. Ou seja, vale:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 2 n = 0   ( n   í m p a r )

Passo 3

Independentemente de n ser par ou ímpar, o enésimo termo da sequência converge para o número 0 . Resumindo, escrevemos como

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência { a n } converge.

Resposta

a n   c o n v e r g e   e   lim n → ∞ ⁡ a n = 0

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