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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.2 - Ex. 56

Encontre

(f (x + h) - f ( x ))/(h)

E

(f (w) - f ( x ))/(w - x)

E simplifique tanto quanto possível.

f (x) = (1)/(x^2)

Passo 1

Vamos fazer por partes. Primeiro, vamos achar:

(f (x + h) - f ( x ))/(h)

Onde f (x) = (1)/(x^2) .

Então, calculando f ( x + h ) :

f (x + h) = (1)/((x + h)^2)

Substituindo na expressão que queremos:

(f (x + h) - f ( x ))/(h) = ((1)/((x + h)^2) - (1)/(x^2))/(h)

Fazendo o mmc:

(f (x + h) - f ( x ))/(h) = ((x^2 - (x + h)^2)/(x^2 (x + h)^2))/(h)

Arrumando essa divisão:

(f (x + h) - f ( x ))/(h) = (x^2 - (x + h)^2)/(x^2 h (x + h)^2)

(x + h)^2 é um produto notável que é igual a x^2 + 2 x h + h^2

Arrumando o numerador:

(f (x + h) - f (x))/(h) = (x^2 - ( x^2 + 2 x h + h^2 ))/(x^2 h (x + h)^2)

(f (x + h) - f (x))/(h) = (x^2 - x^2 - 2 x h - h^2)/(x^2 h (x + h)^2)

(f (x + h) - f (x))/(h) = (- 2 x h - h^2)/(x^2 h (x + h)^2)

Colocando h em evidência:

(f (x + h) - f (x))/(h) = (h ( - 2 x - h ))/(x^2 h (x + h)^2)

Podemos simplificar o h :

(f (x + h) - f (x))/(h) = (- 2 x - h)/(x^2 (x + h)^2)

Prontinho! Temos mais nada a fazer aqui.

Passo 2

Agora, vamos achar:

(f (w) - f ( x ))/(w - x)

Vamos achar f (w) :

f (w) = (1)/(w^2)

Substituindo:

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = ((1)/(w^2) - (1)/(x^2))/(w - x)

Fazendo o mmc:

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = ((x^2 - w^2)/(x^2 w^2))/(w - x)

Arrumando essa divisão:

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (x^2 - w^2)/(x^2 w^2 ( w - x ))

Repare que temos o produto notável x^2 - w^2 = ( x - w ) ( x + w ) , então:

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (( x - w ) ( x + w ))/(x^2 w^2 ( w - x ))

Repare que x - w = - ( w - x ) :

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (- ( w - x ) ( x + w ))/(x^2 w^2 ( w - x ))

Simplificando ( w - x ) :

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (- ( x + w ))/(x^2 w^2)

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (- x - w)/(x^2 w^2)

Só isso!

Resposta

(f (x + h) - f ( x ))/(h) = (- 2 x - h)/(x^2 (x + h)^2)

E

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (- x - w)/(x^2 w^2)

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