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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 13

Encontre a solução para a equação diferencial que satisfaça as condições iniciais dadas

d u d t = 2 t + sec 2 ⁡ t 2 u  

u 0 =   - 5

Passo 1

Esse é um dos meus métodos favoritos para resolver equações diferenciais. É um dos mais rápidos. Se você não está acostumado fica tranquilo, vou fazer passo – a – passo para você ver. Temos então:

d u d t = 2 t + sec 2 ⁡ t 2 u  

O que vamos fazer agora é separar as variáveis. Tudo que for   t vai para um lado, tudo que for u vai para o outro.

d u d t = 2 t + sec 2 ⁡ t 2 u  

2 u   d u = 2 t + sec 2 ⁡ t   d t

Belezinha. Nossa equação está arrumada. Já podemos passar para o próximo passo!

Passo 2

Agora vamos integrar dos dois lados

∫ 2 u   d u   = ∫ 2 t + sec 2 ⁡ t   d t

Do lado esquerdo temos uma integral bem tranquilinha

∫ 2 u   d u  

= u 2

Do lado direito que vamos precisar ultilizar um pouco mais de nossos conhecimentos de cálculo 1. Pois temos aqui uma integral cuja primitiva é uma função trigonométrica, saca só :

∫ 2 t + sec 2 ⁡ t   d t

=   ∫ 2 t   d t +   ∫ sec ² ⁡ t d t

= t 2 + tan ⁡ t

Beleza! Agora podemos unir essas duas partes

u 2 = t 2 + tan ⁡ t  

Estamos fazendo integrais indefinidas, então temos que adicionar uma constante arbitraria C.

u 2 = t 2 + tan ⁡ t + C

Passo 3

Esse exercício nos dá os dados de contorno. Então vamos usar isso para podermos achar C

u 0 = - 5

Vamos usar isso na nossa solução

u 2 = t 2 + tan ⁡ t + C

( - 5 ) 2 = 0 + tan ⁡ 0 + C  

C = 25

Logo podemos escrever nossa Solução como

u 2 = t 2 + tan ⁡ t + 25

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

u 2 = t 2 + tan ⁡ t + 25

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