Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 20
Encontre a série de Taylor de centrada no valor dado de . [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .] Também encontre o raio de convergência associado.
,
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo na paz?
A questão quer que a gente encontre a série de Taylor de que no nosso caso é:
Centrada em e seu raio de convergência . Vamos revisar a teoria que vamos precisar para cada parte aqui nesse primeiro passo.
Primeiro precisamos encontrar a série de Taylor da função que o enunciado deu. Encontrar a série de Taylor de uma função centrada em um ponto significa expressar a função como uma soma infinita (que já sabemos que são séries) de termos polinomiais baseados nas derivadas de em nesse ponto. Pra gente escrever uma função como uma série de Taylor, fazemos:
Onde a é a enésima derivada da nossa função no nosso ponto , que para nós é . A gente obtém esse termo derivando nossa função vezes e achando a primeira, segunda, terceira derivada e assim por diante. Os termos da série de Taylor são do formato:
Então precisamos encontrar derivando várias vezes. Encontrando esse termo, nós substituímos em e temos nossa série de Maclaurin pra função que o enunciado pede.
Para finalizar, vamos encontrar o raio de convergência da função . O raio de convergência vem dos valores de que tornam nossa série de Taylor convergente. Como vimos durante as outras vááárias sessões do capítulo 11, nós temos muitos testes e teoremas para achar a convergência de uma série.
Mas aqui nós vamos usar o Teste da Razão: Calculamos o limite:
Se:
- a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
- Se a série é divergente (o mesmo para ).
- Vemos que está sempre elevado ao valor de de cada termo e o denominador é o fatorial também de em cada termo.
- No numerador temos sempre , multiplicado por potências de base 2 elevadas a , ou seja: .
Vamos usar esse teste, porque temos termos fatoriais no denominador das séries de Taylor, e o teste da razão ajuda a eliminarmos esse tipo de termos para facilitar a análise matemática.
Dito isso, bora lá!
Passo 2
Aqui o enunciado nos deu que , então, vamos encontrar quanto é nosso termo:
Aqui vamos achar até a quinta derivada, ou seja, . é a função derivada uma vez, é a função derivada duas vezes, é a função derivada 3 vezes, e assim por diante.
Podemos montar a seguinte tabela, para alguns valores de . Aqui é o valor da função derivada vezes e é com :
Passo 3
Lembra que estamos fazer isso para encontrar , né? Agora, precisamos usar esses valores para achar um termo geral de para qualquer valor de .
Vamos escrever os termos da série, dentro daquele formato que apresentamos no passo 1. Podemos escrever como:
Usando os valores das derivadas que encontramos no passo 2, temos:
Tentando encontrar um padrão:
Então, nos termos da série de Taylor, que apresentamos no passo 1, podemos escrever:
Essa é a série de Taylor para .
Passo 2
Agora que já encontramos a série de Taylor que a questão pediu, vamos entender para quais valores de ela converge, utilizando o teste da razão, e daí vamos tirar seu raio de convergência:
Aqui vamos ter:
E fazendo :
Já podemos aplicar no teste da razão, já escrevendo a divisão de frações como a multiplicação da primeira pelo inverso da segunda:
Abrindo a soma de expoentes com a propriedade: e simplificando os termos que se dividem:
Agora podemos abrir o fatorial para simplificar mais:
Tirando o módulo dos termos que depende de , que é sempre positivo, já podemos calcular nosso limite:
Passo 3
Lembra que o teste da razão que retomei no passo 1 diz que o valor do limite para uma série convergente é:
Dessa forma, temos que, para a convergência da nossa série:
E, consequentemente, como a condição é válida para todos os valores de , logo não temos restrições para os valores que pode assumir. Por isso, dizemos que seu raio de convergência é infinito: