Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R_n(x) → 0 .] Também encontre o raio de convergência associado.

f(x) = e^(2x) , a = 3

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo na paz?

A questão quer que a gente encontre a série de Taylor de f ( x ) que no nosso caso é:

f x = e 2 x

Centrada em a = 3 e seu raio de convergência R . Vamos revisar a teoria que vamos precisar para cada parte aqui nesse primeiro passo.

Primeiro precisamos encontrar a série de Taylor da função que o enunciado deu. Encontrar a série de Taylor de uma função centrada em um ponto significa expressar a função como uma soma infinita (que já sabemos que são séries) de termos polinomiais baseados nas derivadas de f x em nesse ponto. Pra gente escrever uma função como uma série de Taylor, fazemos:

f x = ∑ n = 1 ∞ f n a   n ! x - a n

Onde a f n a é a enésima derivada da nossa função no nosso ponto a , que para nós é a = 3 . A gente obtém esse termo derivando nossa função n vezes e achando a primeira, segunda, terceira derivada e assim por diante. Os termos da série de Taylor são do formato:

f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + f ' ' ' a 3 ! x - a 3 + …

Então precisamos encontrar f n a derivando várias vezes. Encontrando esse termo, nós substituímos em ∑ f n 0 n ! x n e temos nossa série de Maclaurin pra função que o enunciado pede.

Para finalizar, vamos encontrar o raio de convergência R da função e 2 x . O raio de convergência vem dos valores de x que tornam nossa série de Taylor convergente. Como vimos durante as outras vááárias sessões do capítulo 11, nós temos muitos testes e teoremas para achar a convergência de uma série.

Mas aqui nós vamos usar o Teste da Razão: Calculamos o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L      

Se:

  • L < 1 → a série ∑ a n é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
  • Se L > 1 → a série ∑ a n é divergente (o mesmo para L = ∞ ).
  • Vamos usar esse teste, porque temos termos fatoriais no denominador das séries de Taylor, e o teste da razão ajuda a eliminarmos esse tipo de termos para facilitar a análise matemática.

    Dito isso, bora lá!

    Passo 2

    Aqui o enunciado nos deu que a = 3 , então, vamos encontrar quanto é nosso termo:

    f n 3

    Aqui vamos achar até a quinta derivada, ou seja, f 5 3 . f ' x é a função derivada uma vez, f ' ' x é a função derivada duas vezes, f ' ' ' x é a função derivada 3 vezes, e assim por diante.

    Podemos montar a seguinte tabela, para alguns valores de n . Aqui f n x é o valor da função derivada n vezes e   f n 3 é f n x com x = a = 3 :

    Passo 3

    Lembra que estamos fazer isso para encontrar f n 3 , né? Agora, precisamos usar esses valores para achar um termo geral de f n 3 para qualquer valor de n .

    Vamos escrever os termos da série, dentro daquele formato que apresentamos no passo 1. Podemos escrever f ( x ) como:

    e 2 x = f 3 + f ' 3 x + f ' ' ( 3 ) 2 ! x 2 + f ' ' ' 3 3 !   x 3 + f 4 ( 3 ) 4 ! x 4 + ⋯  

    Usando os valores das derivadas que encontramos no passo 2, temos:

    e 6 0 ! x - 3 0 + 2 e 6 1 ! x - 3 1 + 4 e 6 2 ! x - 3 2 + 8 e 6 3 ! x - 3 3 + ⋯

    Tentando encontrar um padrão:

  • Vemos que x - 3 está sempre elevado ao valor de n de cada termo e o denominador é o fatorial também de n em cada termo.
  • No numerador temos sempre e 6 , multiplicado por potências de base 2 elevadas a n , ou seja: 2 n .

Então, nos termos da série de Taylor, que apresentamos no passo 1, podemos escrever:

∑ n + 1 ∞ 2 n e 6 n ! x - 3 n    

Essa é a série de Taylor para f ( x ) .

Passo 2

Agora que já encontramos a série de Taylor que a questão pediu, vamos entender para quais valores de x ela converge, utilizando o teste da razão, e daí vamos tirar seu raio de convergência:

∑ n + 1 ∞ 2 n e 6 n ! x - 3 n    

Aqui vamos ter:

a n = 2 n e 6 n ! x - 3 n

E fazendo n = n + 1 :

a n + 1 = 2 n + 1 e 6 x - 3 n + 1 n + 1 !

Já podemos aplicar no teste da razão, já escrevendo a divisão de frações a n + 1 a n como a multiplicação da primeira pelo inverso da segunda:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 e 6 x - 3 n + 1 n + 1 ! ⋅ n ! 2 n e 6 x - 3 n  

Abrindo a soma de expoentes com a propriedade: b m + n = b m + b n e simplificando os termos que se dividem:

lim n → ∞ ⁡ 2 n ⋅ 2 1 ⋅ e 6 ⋅ x - 3 n ⋅ ( x - 3 ) n + 1 ! ⋅ n ! 2 n e 6 x - 3 n = lim n → ∞ ⁡ 2 1 ⋅ x - 3 ⋅ n ! n + 1 !

Agora podemos abrir o fatorial para simplificar mais:

lim n → ∞ ⁡ 2 1 ⋅ x - 3 ⋅ n ! n + 1 ⋅ n ! = lim n → ∞ ⁡ 2 ⋅ x - 3 n + 1

Tirando o módulo dos termos que depende de n , que é sempre positivo, já podemos calcular nosso limite:

lim n → ∞ ⁡ 2 | x - 3 | n + 1 = 0 < 1

Passo 3

Lembra que o teste da razão que retomei no passo 1 diz que o valor do limite L para uma série convergente é:

L < 1

Dessa forma, temos que, para a convergência da nossa série:

L = 0 < 1

E, consequentemente, como a condição é válida para todos os valores de x , logo não temos restrições para os valores que x   pode assumir. Por isso, dizemos que seu raio de convergência é infinito:

R = ∞

Resposta

∑ n + 1 ∞ 2 n e 6 n ! x - 3 n    

R = ∞

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