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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.3 - Ex. 14

Encontre a solução formal do problema de valor inicial

y ' ' + ω 2 y = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t ,

y 0 = 0 ,

y ' 0 = 0

Em que ω > 0 é diferente de todos os inteiros positivos. Como essa solução é modificada se ω = m , em que m é um inteiro positivo?

Passo 1

Para encontrar a solução do problema de valor inicial vamos usar uma ferramenta do capítulo 6: a transformada de Laplace. Aplicando a transformada na equação diferencial:

y ' ' + ω 2 y = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t

L y ' ' + ω 2 L ( y ) = L ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + ω 2 Y s = ∑ n = 1 ∞ b n n s 2 + n 2

s 2 + ω 2 Y s = ∑ n = 1 ∞ b n n s 2 + n 2

Y s = ∑ n = 1 ∞ b n n ( s 2 + n 2 ) 1 s 2 + ω 2

Passo 2

Para o caso em que ω é diferente de todos os inteiros positivos, ficamos com:

Y s = ∑ n = 1 ∞ b n n ( s 2 + n 2 ) ω ω s 2 + ω 2

Chamando

F s = ∑ n = 1 ∞ b n n ( s 2 + n 2 ) → f t = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t

G s = ω ω s 2 + ω 2 → g t = 1 ω sen ⁡ ω t

Então

Y s = F s G ( s )

Pelo teorema sobre a convolução:

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ

y t = ∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ 1 ω sen ⁡ ω t d τ

y t = 1 ω ∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ

∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ = - ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n τ - t cos ⁡ ω τ ω 0 t - n ω ∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n cos ⁡ n ( t - τ ) cos ⁡ ω τ d τ

∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ = - 1 ω ∑ n = 1 ∞ b n ( sen ⁡ 0 cos ⁡ ω t - sen ⁡ n t cos ⁡ 0 ) - ∑ n = 1 ∞ b n n ω ∫ 0 t cos ⁡ n ( t - τ ) cos ⁡ ω τ d τ

∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t ω - ∑ n = 1 ∞ b n n ω 1 ω cos ⁡ n t - τ sen ⁡ ω τ 0 t - n ω ∫ 0 t sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ

∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ 1 - n 2 ω 2 = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t ω - ∑ n = 1 ∞ b n n ω 2 ( cos ⁡ 0 sen ⁡ ω t - cos ⁡ n t sen ⁡ 0 )

∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ 1 - n 2 ω 2 = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t ω - ∑ n = 1 ∞ b n n sen ⁡ ω t ω 2

∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ ω 2 - n 2 ω 2 = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t ω - ∑ n = 1 ∞ b n n sen ⁡ ω t ω 2

∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ = ∑ n = 1 ∞ b n ω 2 ω 2 - n 2 sen ⁡ n t ω - n sen ⁡ ω t ω 2

∫ 0 t ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ = ∑ n = 1 ∞ b n ( ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ) ( ω 2 - n 2 )

y t = 1 ω ∑ n = 1 ∞ b n ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ω 2 - n 2

Passo 3

Vamos agora para o caso em que ω = m , que é um inteiro positivo. Para este caso, a solução é a mesma, com exceção do termo n = m . O que vamos fazer é retirar este termo do somatório que encontramos para ω diferente de todos os inteiros positivos e, fazê-lo de forma separada.

Então:

y ' ' + m 2 y = ∑ n = 1 ,     n ≠ m ∞ b n sen ⁡ n t + b m sen ⁡ m t

L y ' ' + m 2 L y = L ∑ n = 1 ,     n ≠ m ∞ b n sen ⁡ n t + L b m sen ⁡ m t

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + m 2 Y s = ∑ n = 1 ,     n ≠ m ∞ b n n s 2 + n 2 + b m m s 2 + m 2

s 2 + m 2 Y s = ∑ n = 1 ,     n ≠ m ∞ b n n s 2 + n 2 + b m m s 2 + m 2

Y s = ∑ n = 1 ,     n ≠ m ∞ b n n ( s 2 + n 2 ) 1 s 2 + ω 2 + b m m s 2 + m 2 2

Chamando

F s = ∑ n = 1 ,     n ≠ m ∞ b n n ( s 2 + n 2 ) → f t = ∑ n = 1 ,     n ≠ m ∞ b n sen ⁡ n t

G s = ω ω s 2 + ω 2 → g t = 1 ω sen ⁡ ω t

H s = b m m s 2 + m 2 → h ( t ) = b m sen ⁡ m t

J s = 1 m m ( m 2 + s 2 ) → j ( t ) = 1 m sen ⁡ m t

Então

Y s = F s G s + H s J ( s )

Pelo teorema sobre a convolução:

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ + ∫ 0 t h t - τ j τ d τ

y t = 1 ω ∑ n = 1 , n ≠ m ∞ b n ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ω 2 - n 2 + ∫ 0 t b m sen ⁡ m t - τ 1 m sen ⁡ m τ d τ

∫ 0 t b m sen ⁡ m t - τ 1 m sen ⁡ m τ d τ = y t = b m ( sen ⁡ m t - m t cos ⁡ n t ) 2 m 2

E a solução fica:

y t = 1 ω ∑ n = 1 , n ≠ m ∞ b n ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ω 2 - n 2 + b m ( sen ⁡ m t - m t cos ⁡ m t ) 2 m 2

Resposta

Se ω é diferente de todos os inteiros positivos:

y t = 1 ω ∑ n = 1 ∞ b n ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ω 2 - n 2

Para o caso em que ω = m , em que m é um inteiro positivo:

y t = 1 ω ∑ n = 1 , n ≠ m ∞ b n ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ω 2 - n 2 + b m ( sen ⁡ m t - m t cos ⁡ m t ) 2 m 2

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