Encontre a solução formal do problema de valor inicial y ' ' + ω 2 y = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n t , y 0 = 0 , y ' 0 = 0 Em que ω0 é diferente de todos os inteiros positivos. Como essa solução é modificada se ω = m , em que m é um inteiro positivo?

Se ω é diferente de todos os inteiros positivos: y t = 1 ω ∑ n = 1 ∞ b n ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ω 2 - n 2 Para o caso em que ω = m , em que m é um inteiro positivo: y t = 1 ω ∑ n = 1 , n ≠ m ∞ b n ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ω 2 - n 2 + b m ( sen ⁡ m t - m t cos ⁡ m t ) 2 m 2

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.3 - Ex. 14

Encontre a solução formal do problema de valor inicial

Em que é diferente de todos os inteiros positivos. Como essa solução é modificada se , em que é um inteiro positivo?

Passo 1

Para encontrar a solução do problema de valor inicial vamos usar uma ferramenta do capítulo 6: a transformada de Laplace. Aplicando a transformada na equação diferencial:

Passo 2

Para o caso em que é diferente de todos os inteiros positivos, ficamos com:

Chamando

Então

Pelo teorema sobre a convolução:

Passo 3

Vamos agora para o caso em que , que é um inteiro positivo. Para este caso, a solução é a mesma, com exceção do termo . O que vamos fazer é retirar este termo do somatório que encontramos para diferente de todos os inteiros positivos e, fazê-lo de forma separada.