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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.3 - Ex. 5

Suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original.

f x = 0 , - π ≤ x < - π / 2 , 1 , - π / 2 ≤ x < π / 2 , 0 , π / 2 ≤ x < π

(a) Encontre a série de Fourier de função estendida.

(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge por três períodos.

Passo 1

Vamos começar relembrando o que é a série de Fourier. A série de Fourier é uma função da forma:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

Em que a 0 , a n e b n são constantes definidas para cada valor de n = 1 ,   2 ,   … ,   ∞ e, L corresponde ao intervalo original em que a função periódica é definida ( - L ≤ x < L ) . Usamos a série de Fourier como uma representação de uma função periódica g ( x ) qualquer, em que os valores de g ( x ) podem ser aproximados pela somatória de m termos da série f ( x ) . Agora que já relembramos o conceito da série de Fourier, vamos ao exercício.

Passo 2

O item (a) nos pede para encontrar a série de Fourier para a função periódica:

f x = 0 , - π ≤ x < - π / 2 , 1 , - π / 2 ≤ x < π / 2 , 0 , π / 2 ≤ x < π

Como acabamos de relembrar, a série de Fourier é uma equação da forma:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 m a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

Precisamos então obter os termos a 0 ,   a n ,   b n e L . O intervalo de uma função escrita como série de Fourier é definido como - L ≤ x < L . Então, para a nossa função L = π . Tudo bem?

O próximo passo é o cálculo dos coeficientes. O coeficiente a 0 é definido por:

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

Substituindo a função f ( x ) :

a 0 = 1 π ∫ - π - π / 2 0 d x + ∫ - π / 2 π / 2 d x + ∫ π / 2 π 0 d x

a 0 = a 0 = 1 π ∫ - π / 2 π / 2 d x

a 0 = 1 π x - π / 2 π / 2

a 0 = 1 π π 2 - ( - π 2 ) = π π

a 0 = 1

Agora vamos determinar a n . Ele é dado por:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x

Aplicando f ( x ) e L ficamos com

a n = 1 π ∫ - π - π / 2 0 cos ⁡ n π x π d x + ∫ - π / 2 π / 2 cos ⁡ n π x π d x + ∫ π / 2 π 0 cos ⁡ n π x π d x

a n = 1 π ∫ - π / 2 π / 2 cos ⁡ n π x π d x

a n = 1 π ∫ - π / 2 π / 2 cos ⁡ n x d x

a n = 1 π 1 n sen ⁡ n x - π 2 π / 2  

a n = 1 π 1 n sen ⁡ n π 2 - sen ⁡ - n π 2

Como n é um inteiro positivo, sen ⁡ n π 2 = - sen ⁡ - n π 2 , para qualquer valor de n . Então:

a n = 1 π 1 n sen ⁡ n π 2 + sen ⁡ n π 2

a n = 2 π n sen ⁡ n π 2

Por fim, vamos calcular b n . Ele é dado por:

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

Substituindo f ( x ) e L :

b n = 1 π ∫ - π - π / 2 0 sen ⁡ n π x π d x + ∫ - π / 2 π / 2 sen ⁡ n π x π d x + ∫ π / 2 π 0 sen ⁡ n π x π d x

b n = 1 π ∫ - π / 2 π / 2 sen ⁡ n x d x

b n = 1 π - 1 n cos ⁡ n x - π / 2 π / 2

b n = 1 π - 1 n ( cos ⁡ n π 2 - cos ⁡ - n π 2 )

b n = 0

Aplicando na função:

f x = 1 2 + ∑ n = 1 m 2 π n sen ⁡ n π 2 cos ⁡ n x

O termo sen ⁡ n π 2 terá valor 0 para n par e valor ± 1 para os n ímpar.

Então, para o somatório apenas os valores de n ímpar são relevantes. Para garantir que vamos somar apenas os termos ímpares vamos substituir n por 2 n - 1 . Tudo bem?

Além disso, como sen ⁡ n π 2 só assume valores 1 e - 1 , podemos escrevê-lo como

sen ⁡ n π 2 = - 1 n - 1

Então

f x = 1 2 + 2 π ∑ n = 1 m - 1 n - 1 ( 2 n - 1 ) cos ⁡ ( 2 n - 1 ) x

Passo 3

Agora que temos a série de Fourier, vamos para o item (b). Ele nos pede para esboçar o gráfico da série para três períodos. Para isso, vamos assumir um valor arbitrário de L , L = π , e utilizar o Excel para obter os coeficientes a 0 ,   a n e b n e, para realizar o somatório. Aplicando a série para os intervalos - 3 π ≤ x < - π , - π ≤ x < π e π ≤ x < 3 π , devemos obter algo da forma:

Esta foi a função obtida somando 10 termos da série. Podemos ver que a série já começa a se aproximar da função f ( x ) . Caso seja necessário uma aproximação mais fiel, deveríamos aumentar o número de termos do somatórios.

Resposta

(a) f x = 1 2 + 2 π ∑ n = 1 m - 1 n - 1 ( 2 n - 1 ) cos ⁡ ( 2 n - 1 ) x .

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