Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 9

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.

y ' ' + y = g ( t ) ;   y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 1 ;

g ( t ) = t 2 ,   0   ≤ t < 6

g ( t ) = 3 ,   t ≥ 6

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s ) = ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t ) d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' ' + y } = ℒ { g ( t ) }

ℒ { y ' } ' + ℒ { y } = ℒ { g ( t ) }

[ s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) ] + Y ( s )   =   ∫ 0 6 e - s t ( t / 2 ) d t   + ∫ 6 ∞ e - s t ( 3 )   d t

Passo 2

Aplique as condições iniciais, y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 1 .

[ s ² Y ( s )   -   1 ] + Y ( s )   =   1 2 ∫ 0 6 t e - s t d t   + 3 ∫ 6 ∞ e - s t d t

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( s ² + 1 ) Y ( s ) - 1 = - 1 2 d d s ( - 1 s   +   1 s e - 6 s ) + 3 ( - 1 s + 1 s e - 6 s )

Y ( s ) = ( 1 2 s ² - 1 2 s ² + 1 ) - ( 1 2 s ² - 1 2 s ² + 1 ) e - 6 s + 1 s ² + 1

Passo 3

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa!

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = ℒ - 1 { ( 1 2 s ² - 1 2 s ² + 1 ) - ( 1 2 s ² - 1 2 s ² + 1 ) e - 6 s + 1 s ² + 1 }

Chegando em:

y ( t )   =   1 2 ( t + s e n ( t )   )   -   1 2 [ ( t - 6 )   -   s e n ( t - 6 ) ] u 6 ( t )

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t sobreposto no gráfico de f(t) versus t.

Resposta

y ( t )   =   1 2 ( t + s e n ( t )   )   -   1 2 [ ( t - 6 )   -   s e n ( t - 6 ) ] u 6 ( t )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles. y ' '+ y=f ( t ) ;y ( 0 )=0 ,y ' ( 0 ) = 1 ; f ( t )=1 ,0 ≤
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles. y ' '+y ' + 5 4 y = t - u π / 2 ( t )( t - π 2 ) ;y ( 0 )=0
Encontre uma expressão envolvendo u c ( t ) para uma função f cujo gráfico é uma rampacrescente de zero em t = t 0 até o valor h em t = t 0 + k
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles. y ' ' + 3 y ' + 2 y = f ( t ) ;y ( 0 ) = 0 ,y ' ( 0 ) = 0 ;
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles. y ' ' + 3 y ' + 2 y = u 2 ( t ) ;y ( 0 ) = 0 ,y ' ( 0 ) = 1