Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 8

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.

y ' '   +   y ' + 5 4 y = t - u π / 2 ( t )   ( t - π 2 ) ;       y ( 0 )   =   0 ,       y ' ( 0 ) = 0

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   = ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t ) d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' ' + y ' + 5 4 y } = ℒ { t - y π / 2 ( t )   ( t - π / 2 ) }

ℒ { y ' ' } + ℒ { y ' } + ℒ { 5 4 y } = ℒ { t } - ℒ { y π / 2 ( t )   ( t - π / 2 ) }

[ s ² Y ( s ) - s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) ] + [ s Y ( s ) - y ( 0 ) ] + 5 4 [ Y ( s ) ] = 1 s ² - ∫ 0 ∞ e ⁻ s t [ u π / 2 ( t ) ( t - π 2 ) ] d t

Passo 2

Aplique as condições iniciais, y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 .

[ s ² Y ( s ) ] + [ s Y ( s ) ] + 5 4 [ Y ( s ) ] = 1 s ² - ∫ π / 2 ∞ e - s t ( t - π / 2 ) d t

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( s ² + s + 5 4 ) Y ( s ) = 1 s ² + d d s ∫ π / 2 ∞ e - s t d t   +   π 2 ∫ π / 2 ∞ e - s t d t

Y ( s ) = 1 s ² ( s ² + s + 5 4 ) - 1 s ² ( s ² + s + 5 4 ) e - π s / 2

Passo 3

Usando frações parciais para achar a inversa:

1 s ² ( s ² + s + 5 4 ) = A s + B s ² + C s + D s ² + s + 5 4

s = 0 :   1 = 5 4 B

s = 1 :   1 = 13 4 A + 13 4 B + C + D

s = 2 :   1 = 29 2 A + 29 4 B + 8 C + 4 D

s = 3 :   1 = 159 4 A + 53 B 4 + 27 C + 9 D

Resolvendo, chegamos em:

A = - 16 / 25 ,   B = 4 / 5 ,   C = 16 / 25   e D =   - 4 / 25

Y ( s ) = [ - 16 25 s + 4 5 s ² + 16 25 ( s + 1 2 ) - 12 25 ( s + 1 2 ) ² + 1 ] - [ - 16 25 s + 4 5 s ² + 16 25 ( s + 1 2 ) - 12 25 ( s + 1 2 ) 2 + 1 ] e - π s / 2

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa!

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = ℒ - 1 { - 16 25 s + 4 5 s ² + 16 25 ( s + 1 2 ) - 12 25 ( s + 1 2 ) ² + 1 } - ℒ - 1 { - 16 25 s + 4 5 s ² + 16 25 ( s + 1 2 ) - 12 25 ( s + 1 2 ) 2 + 1 }

Chegando em:

y ( t ) = 4 25 [ - 4 + 5 t + e - t / 2 ( 4 c o s ( t )   -   3 s e n ( t )   )   ] + 2 25 [ ( 5 π + 8 ) - 10 t - 2 e ( π - 2 t ) / 4 ( 4 s e n ( t )   +   3 c o s ( t )   ) ] u π / 2 ( t )

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t sobreposto no gráfico de f(t) versus t.

Resposta

y ( t ) = 4 25 [ - 4 + 5 t + e - t / 2 ( 4 c o s ( t )   -   3 s e n ( t )   )   ] + 2 25 [ ( 5 π + 8 ) - 10 t - 2 e ( π - 2 t ) / 4 ( 4   s e n ( t )   +   3   c o s ( t )   ) ] u π / 2 ( t )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre uma expressão envolvendo u c ( t ) para uma função g cujo gráfico é uma rampacrescente de zero em t = t 0 até o valor h em t = t 0 + k , seguida de uma rampa decrescente quechega a zero em t
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles. y ' ' + y=u 3 π ( t ) ; y ( 0 ) = 1 ,y ' ( 0 ) = 0
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles. y ' '+ 4 y=s e n ( t )- u 2 π ( t )s e n ( t - 2 π ) ;y ( 0
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles. y ' ' + y ' + 5 4 y = g ( t ) ;y ( 0 ) = 0 ,y ' ( 0 ) = 0 ;
Determinado sistema mola-massa satisfaz o problema de valor inicial u ' ' + 1 4 u ' + u = k g ( t ) ,u ( 0 ) = 0 ,u ' ( 0 ) = 0 , em que g ( t ) = u 3 / 2 ( t ) - u 5 / 2 ( t ) e k0 é um parâmetro.Esb