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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 6

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.

y ' ' + 3 y ' + 2 y = u 2 ( t ) ;   y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 1

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' '   + 3 y '   + 2 y } = ℒ { u 2 ( t ) }

ℒ { y ' ' }   + ℒ { 3 y ' }   + ℒ { 2 y } = ℒ { u 2 ( t ) }

[ s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) ] + 3 [ s Y ( s ) - y ( 0 ) ] + 2 [ Y ( s ) ] = ∫ 0 ∞ e - s t [ u 2 ( t ) ] d t

Passo 2

Aplique as condições iniciais, y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 1 .

[ s ² Y ( s ) - 1 ] + 3 [ s Y ( s ) ] + 2 [ Y ( s ) ] = ∫ 2 ∞ e - s t d t

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( s ² + 3 s + 2 ) Y ( s ) = 1 s e - 2 s + 1

Y ( s ) = ( 1 2 s + - 1 s + 1 + 1 2 s + 2 ) e - 2 s + 1 s + 1 + - 1 s + 2

Passo 3

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa!

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = ℒ - 1 { ( 1 2 s + - 1 s + 1 + 1 2 s + 2 ) e - 2 s + 1 s + 1 + - 1 s + 2 }

Chegando em:

y ( t ) = 1 2 ( 1 - e 2 - t ) 2 u 2 ( t )   -   e - 2 t

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t sobreposto no gráfico de f(t) versus t.

Resposta

y ( t ) = 1 2 ( 1 - e 2 - t ) 2 u 2 ( t )   -   e - 2 t

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