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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 3

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.

y ' '   + 4 y   =   s e n ( t )   - u 2 π ( t )   s e n ( t - 2 π ) ;   y ( 0 )   =   0 ,   y ' ( 0 )   =   0

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t ) d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' ' + 4 y } = ℒ { s e n ( t )   -   u 2 π ( t )   s e n ( t - 2 π )   }

ℒ { y ' ' } + 4 ℒ { y } = ℒ { s e n ( t )   }   -   ℒ { u 2 π ( t )   s e n ( t - 2 π )   }

[ s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) ] + 4 [ Y ( s )   ] = 1 s ² + 1 - 1 s ² + 1 e - 2 π s

Passo 2

Aplique as condições iniciais, y ( 0 )   =   0   ,   y ' ( 0 ) = 0 .

[ s ² Y ( s ) ] + 4 [ Y ( s ) ] = 1 s ² + 1 - 1 s ² + 1 e - 2 π s

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( s ² + 4 ) Y ( s )   =   1 s ² + 1 - 1 s ² + 1 e - 2 π s

Y ( s )   =   1 ( s ² + 1 ) ( s ² + 4 ) - 1 ( s ² + 1 ) ( s ² + 4 ) e - 2 π s

Passo 3

Usando frações parciais para achar a inversa:

1 ( s ² + 1 ) ( s ² + 4 ) = A s + B s ² + 1 + C s + D s ² + 4

s = 0 :   1 = 4 B + D

s = 1 :   1 = 5 A + 5 B + 2 C + 2 D

s = 2 :   1 = 16 A + 8 B + 10 C + 5 D

s = 3 :   1 = 39 A + 13 B + 30 C + 10 D

Resolvendo, chegamos em:

A = 0 ,   B = 1 3 ,   C = 0 ,   D =   - 1 3 .

Y ( s )   =   1 3 1 s ² + 1 - 1 6 2 s ² + 4 - ( 1 3 1 s ² + 1 - 1 6 2 s ² + 4 ) e - 2 π s

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa!

y ( t )   =   ℒ - 1 { Y ( s ) } = ℒ - 1 { 1 3 1 s ² + 1 - 1 6 2 s ² + 4 - ( 1 3 1 s ² + 1 - 1 6 2 s ² + 4 ) e - 2 π s }

Chegando em:

y ( t )   =   1 3 s e n ( t ) ( 1 - c o s ( t )   )   [ 1   -   u 2 π ( t ) ]

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t sobreposto no gráfico de f(t) versus t.

Resposta

y ( t )   =   1 3 s e n ( t )   ( 1 - c o s ( t )   )   [ 1 - u 2 π ( t )   ]

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