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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 2

  1. Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
  2. Desenhe um gráfico da solução.

y ' ' + 4 y = δ ( t - π ) - δ ( t - 2 π ) ;   y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 0 .

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' ' + 4 y } = ℒ { δ ( t - π ) - δ ( t - 2 π ) }

ℒ { y ' ' } + ℒ { 4 y } = ℒ { δ ( t - π ) } - ℒ { δ ( t - 2 π ) }

s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) + 4 Y ( s ) = ∫ 0 ∞ e - s t [ δ ( t - π ) ] d t   - ∫ 0 ∞ e - s t [ δ ( t - 2 π ) ] d t

Passo 2

Aplique as condições iniciais y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 .

s ² Y ( s ) + 4 Y ( s ) = e - s ( π ) - e - s ( 2 π )

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( s ² + 4 ) Y ( s ) = e - π s - e - 2 π s

Y ( s ) = 1 2 2 s ² + 4 e - π s - 1 2 2 s ² + 4 e - 2 π s

Passo 3

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa, chegando em:

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = 1 2 s e n ( 2 t ) [ u π ( t ) - u 2 π ( t ) ]

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t.

Resposta

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = 1 2 s e n ( 2 t ) [ u π ( t ) - u 2 π ( t ) ]

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