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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 10

  1. Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
  2. Desenhe um gráfico da solução.

2 y ' ' + y ' + 4 y = δ ( t - π / 6 ) s e n ( t ) ;   y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 0 .

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { 2 y ' ' + y ' + 4 y } = ℒ { δ ( t - π / 6 ) s e n ( t ) }

ℒ { 2 y ' ' } + ℒ { y ' } + ℒ { 4 y } = ℒ { δ ( t - π / 6 ) s e n ( t ) }

2 [ s 2 Y ( s ) - s y ( 0 )   -   y ' ( 0 ) ] + [ s Y ( s ) - y ( 0 ) ] + 4 [ Y ( s ) ] = ∫ 0 ∞ e - s t [ δ ( t - π / 6 ) s e n ( t ) ] d t  

Passo 2

Aplique as condições iniciais y ( 0 ) = 0   e y ' ( 0 ) = 0 .

2 [ s 2 Y ( s ) ] + s Y ( s ) + 4 Y ( s ) = e - s ( π / 6 ) s e n ( π / 6 )

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( 2 s 2 + s + 4 ) Y ( s ) = 1 2 e - π s / 6

Y ( s ) = 1 31 31 4 ( s + 1 4 ) 2 + 31 16 e - π s / 6

Passo 3

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa, chegando em:

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = 1 31 e ( π - 6 t ) / 24 s e n [ 31 4 ( 6 t - π ) ] u π / 6 ( t )

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t.

Resposta

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = 1 31 e ( π - 6 t ) / 24 s e n [ 31 4 ( 6 t - π ) ] u π / 6 ( t )

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