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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 5

  1. Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
  2. Desenhe um gráfico da solução.

y ' ' + 2 y ' + 3 y = s e n ( t ) + δ ( t - 3 π ) ;   y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 0

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' ' + 2 y ' + 3 y } = ℒ { s e n ( t ) + δ ( t - 3 π ) }

ℒ { y ' ' } + ℒ { 2 y ' } + ℒ { 3 y } = ℒ { s e n ( t ) } + ℒ { δ ( t - 3 π ) }

s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) + 2 [ s Y ( s ) - y ( 0 ) ] + 3 Y ( s ) = 1 s 2 + 1 + ∫ 0 ∞ e - s t [ δ ( t - 3 π ) ] d t

Passo 2

Aplique as condições iniciais y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 .

s 2 Y ( s ) + 2 s   Y ( s ) + 3 Y ( s ) = 1 s 2 + 1 + e - 3 π s

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

Y ( s ) = 1 ( s ² + 1 ) ( s 2 + 2 s + 3 ) + 1 s 2 + 2 s + 3 e - 3 π s

Passo 3

Usando frações parciais para achar a inversa:

1 ( s 2 + 1 ) ( s 2 + 2 s + 3 ) = A s + B s ² + 1 + C s + D s 2 + 2 s + 3

s = 0 :   1 = 3 B + D

s = 1 :   1 = 6 A + 6 B + 2 C + 2 D

s = 2 :   1 = 22 A + 11 B + 10 C + 5 D

s = 3 :   1 = 54 A + 18 B + 30 C + 10 D

Resolvendo, chegamos em:

A = - 1 / 4 ,   B = 1 / 4 ,   C = 1 / 4 e D = 1 / 4 .

Y ( s ) = - 1 4 s + 1 4 s 2 + 1 + 1 4 s + 1 4 s 2 + 2 s + 3 + 1 s 2 + 2 s + 3 e - 3 π s

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa!

Y ( s ) = - 1 4 s s 2 + 1 + 1 4 1 s 2 + 1 + 1 4 s + 1 ( s + 1 ) 2 + 2 + 1 2 2 ( s + 1 ) 2 + 2 e - 3 π s

Chegando em:

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = 1 4 ( s e n ( t )   -   c o s ( t )   + e - t c o s ( 2 t )   )   + 1 2 e 3 π - t s e n [ 2 ( t - 3 π ) ] u 3 π ( t )

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t.

Resposta

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = 1 4 ( s e n ( t )   -   c o s ( t )   + e - t c o s ( 2 t )   )   + 1 2 e 3 π - t s e n [ 2 ( t - 3 π ) ] u 3 π ( t )

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