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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 17

Suponha que

y ' ' + y = f ( t ) ,   y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 0 .

Para cada uma das escolhas para f(t):

  1. Tente prever a natureza da solução sem resolver o problema.
  2. Teste sua previsão encontrando a solução e desenhando seu gráfico.
  3. Determine o que acontece após o final da sequência de impulsos.

f ( t ) = ∑ k = 1 20 δ ( t - k π )

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' ' + y } = ℒ { ∑ k = 1 20 δ ( t - k π ) }

ℒ { y ' ' } + ℒ { y } = ∑ k = 1 20 ℒ { δ ( t - k π ) }

[ s ² Y ( s ) - s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) ] + Y ( s ) = ∑ k = 1 20 ∫ 0 ∞ e - s t δ ( t - k π ) d t

Passo 2

Aplique as condições iniciais y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 .

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

Y ( s ) = ∑ k = 1 20 1 s ² + 1 e - k π s

Passo 3

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa, chegando em:

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = ∑ k = 1 20 s e n ( t - k π ) u k π ( t )

Abaixo está um gráfico de y (t) versus t até t = 20.

As setas indicam o tempo, magnitude e direção que as funções delta atingem

Abaixo está um gráfico de y (t) versus t até t = 80.

Resposta

  1. Y ( s ) = ∑ k = 1 20 1 s ² + 1 e - k π s
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