Encontre a soma da série.

∑ n = 0 ∞ 3 n 5 n n !

Passo 1

Fala, galera boa! Tudo joia?

Quando temos série de Taylor, que é o caso da nossa série:

∑ n = 0 ∞ 3 n 5 n n !

A soma da série pode ser escrita como uma função f x que está sendo representada aqui como uma soma infinita de termos. No nosso caso temos uma série de Maclaurin (série de Taylor com a = 0 ).

A ideia aqui então é manipularmos essa série e procurar nas nossas séries de Maclaurin para as funções mais comuns que o nosso livro dá e tentarmos entender qual função foi usada para gerar essa série de Maclaurin.

Vamos ao passo a passo da solução!

Passo 2

Para calcular essa soma, vamos manipular até que reconheçamos a série como uma série de Taylor. Neste caso podemos juntar as potencias de n :

∑ n = 0 ∞ 3 n 5 n n ! = ∑ n = 0 ∞ ( 3 / 5 ) n n !

Olhando nossa série podemos ver que ela tem um denominador de n ! e uma base elevada a n no numerador. Agora olha como esse formato parece com o da Série de Maclaurin de e x :

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Reescrevendo a série de Maclaurin para a exponencial com x = 3 / 5 , temos que a nossa série vale

∑ n = 0 ∞ ( 3 / 5 ) n n ! = e 3 / 5

Resposta

e 3 / 5

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