Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 39
Seja
Encontre os intervalos de convergência para .
Passo 1
Nesse exercício devemos determinar os intervalos de valores de para os quais as séries convergem. Para isso, podemos utilizar alguns testes, por exemplo, o Teste da Razão.
Primeiramente, vamos calcular as derivadas e . Para isso, devemos derivar termo a termo a série dada acima.
Passo 2
Agora que determinamos as séries derivadas, podemos aplicar o Teste da Razão na função a fim de descobrir seu raio de convergência.
Para temos:
Logo, pelo Teste da Razão, irá convergir para , ou seja, R=1..
Passo 3
Quando temos
Sabemos que a série é convergente (p-série com p=2), por isso, pelo Teste da Comparação, , é absolutamente convergente, e, portanto, convergente, para .
Dessa forma, o intervalo de convergência de f(x) é [-1,1].
Passo 4
Pelo Teorema 2, os raios de convergência para e , são iguais ao raio de que é R=1. Assim só será necessário analisar a convergência dessas derivadas nos extremos, ou seja, para .
Para temos
Sabemos que a série harmônica diverge, assim, pelo Teste de Comparação, a função diverge em . Em temos:
Pelo Teste da Série Alternada, a série , converge.
Assim, o intervalo de convergência de é .
Passo 5
Estamos chegando ao fim! Agora só falta analisar o comportamento de para .
Para temos
Do raciocínio expresso acima vemos que não existe. Já para temos
Assim, pelo Teste para Divergência, vemos que a série diverge para . Portanto, o intervalo de convergência para a série é (-1, 1).
Acabamos!