Encontre a soma da série:

∑ n = 0 ∞ - 1 n . x 4 n n !

Passo 1

Faaaaaaala meus queridoooos! Espero que esteja tudo bem com vocês! Vamos gabaritar essa ein!?

Acompanha comigo. Primeiro vamos entender o que precisamos fazer. Bom, repare que precisamos apresentar a soma da série fornecida no enunciado:

∑ n = 0 ∞ - 1 n . x 4 n n !

Como fazemos isso? Vamos pensar juntos em uma solução. Repare bem na expressão fornecida, pois conhecemos uma expressão que tem o n ! no denominador. Vamos avaliar a tabela 1:

Conseguiu perceber qual serie apresenta um n ! no denominador? Isso mesmo, a série de e x

Sabendo disso, vamos tentar reescrever a expressão para encontrar uma resposta.

Vamos lá!

Passo 2

De início, vamos comparar a série do enunciado com a da tabela 1

∑ n = 0 ∞ - 1 n . x 4 n n !

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Repare que os somatórios são bem semelhantes, certo?

Vamos tentar reescrever a série fornecida e deixar o mais parecida possível com a da tabela 1:

∑ n = 0 ∞ - 1 n . x 4 n n !

Podemos reescrever a série como:

∑ n = 0 ∞ - x 4 n n !

Agora sim, comparando as duas series novamente, observe como temos a única diferença no termo x .

Logo, podemos apenas substituir o termo x na série abaixo por - x 4 :

e x = ∑ n = 0 ��� x n n !

Assim vamos ter:

e - x 4 = ∑ n = 0 ∞ - x 4 n n !

Repare que o somatório ficou idêntico ao fornecido no enunciado.

Sendo assim, a nossa série em questão se resume a:

∑ n = 0 ∞ - x 4 n n ! = e - x 4

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n . x 4 n n ! = e - x 4

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