Encontre a soma das séries.

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n + 1 4 2 n + 1 2 n + 1 !

Passo 1

E aí galerinha!

Nesse exercício, nosso objetivo é encontrar a soma da série dada. Para fazer isso, precisamos analisar cuidadosamente a expressão da série e identificar uma maneira de simplificá-la ou relacioná-la a uma série conhecida.

Vamos reescrever a série de uma forma mais familiar:

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 4 2 n + 1 2 n + 1 !

Passo 2

Essa série se parece bastante com a série de Taylor para o seno:

sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n . x 2 n + 1 2 n + 1 !

A diferença é que no lugar do x , nós temos π / 4 :

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n + 1 4 2 n + 1 2 n + 1 !

Sendo assim, a nossa série em questão se resume à expansão do seno, substituindo x por π / 4 :

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 4 2 n + 1 2 n + 1 ! = sen ⁡ π 4 = 2 2

Portanto, a soma da série é:

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n + 1 4 2 n + 1 2 n + 1 ! = 2 2

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n + 1 4 2 n + 1 2 n + 1 ! = 2 2

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