Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.10 - Ex. 3
Encontre a série de Maclaurin usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
A série de Maclaurin é da forma
Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir
Podemos perceber o padrão, de forma geral temos que para termos impares, temos que e para os pares .
Passo 2
Então a série para a função é
Repara que o fatorial acompanha os valores da potencia de , porque como não temos termos impares, os fatoriais destes termos somem junto do termo geral.
Para calcular o raio, vamos usar o teste da razão
O limite é para todo então a série de maclaurin para o converge para todo , portanto seu raio é infinito.
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.41. 1 + 1 + 1 2 !+ 1 3 !+ 1 4 !+⋅ ⋅ ⋅
Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.30.l i m x → 0 e x -e - x x
Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.44. 1 2 - 1 2⋅2 2 + 1 3⋅2 3 - 1 4⋅2 4+⋅ ⋅ ⋅
Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.52. 1 + x 2 + x 2 3 + x 3 4 + x 4 5 +⋅ ⋅ ⋅
Mostre que a. c o s h i theta = c o s theta , b. s e n h i theta = i s e n theta