Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.10 - Ex. 3
Encontre a série de Maclaurin usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
A série de Maclaurin é da forma
Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir
Podemos perceber o padrão, de forma geral temos que para termos impares, temos que e para os pares .
Passo 2
Então a série para a função é
Repara que o fatorial acompanha os valores da potencia de , porque como não temos termos impares, os fatoriais destes termos somem junto do termo geral.
Para calcular o raio, vamos usar o teste da razão
O limite é para todo então a série de maclaurin para o converge para todo , portanto seu raio é infinito.
Resposta
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