Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 78
Encontre a soma da série.
Passo 1
E aii, tudo certo??
Nesse exercício vamos calcular a soma de uma série. Mas... como faz isso?!
Bom, o que a gente pode fazer é encontrar a série de alguma função conhecida que seja parecida com essa, e comparar as duas pra achar o valor!
Spoiler: vamos precisar lembrar isso aqui:
Passo 2
A primeira coisa que vamos fazer é reescrever essa soma, que vou chamar de :
Em um somatório desse tipo:
Pra conseguir comparar com a série de alguma função!
Percebe que todos os termos da soma (menos o primeiro) têm um elevado a uma potência cada vez maior? Isso indica que vai aparecer um termo no somatório!
Mas além disso, os termos estão alternando o sinal: quando o é par o termo é positivo, e quando o é ímpar o termo é negativo. Ou seja, vai aparecer um termo no somatório:
Pra completar, o termo é na verdade o caso (já que qualquer coisa elevada a zero é igual a e ):
Sendo assim, a nossa série em questão se resume a:
Como os dois termos do numerador estão elevados a mesma potência, a gente pode juntar:
E agora vamos comparar com a série da fun��ão :
Percebeu que elas são muito parecidas? A única diferença é que aonde tinha na série de , na nossa série tem o termo .
Ou seja, é a própria função aplicada a :