Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 27

Demonstre que a série obtida no Exercício 18 representa para todo .

Passo 1

E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos arrebentar!

No exercício 18 encontramos a série

Para que essa série representa a função, precisamos provar que seu erro para todo , e nós conseguimos fazer isso usando a Desigualdade de Taylor que diz que se , então

Como o centro é

Antes de continuarmos. Precisamos entender o papel de na Desigualdade de Taylor. é uma constante que representa um limite superior para o valor absoluto da -ésima derivada da função em um intervalo . Em outras palavras, é uma estimativa para o máximo valor absoluto das derivadas de em .

Passo 2

Para isso, precisamos saber como se comportam as derivadas de , se derivarmos várias vezes, chegaremos em ou então de forma geral

Como queremos a derivada em módulo, não precisamos nos preocupar com os sinais. Então precisamos achar , de modo geral as funções seno e cosseno em módulo são , portando podemos dizer que e usamos

Então na desigualdade temos:

Passo 3

Agora só precisamos aplicar o limite, para calcularmos o erro em uma série infinita. Temos que para uma função do tipo

Quando temos que , como o lado direito da desigualdade segue esse padrão já que para todo real, e é real, podemos dizer que ele vai para , então por comparação temos que