Use o Teorema de Stokes para calcular Em cada caso, é orientada no sentido anti-horário como visto acima.

é a fronteira de parte do plano no primeiro octante.

Vamos começar calculando o rotacional da função:

Nossa função tem a estrutura:

Como nossa função é:

Temos que:

Assim, temos:

Resolvendo as derivadas parciais:

Se a superfície é da forma e é orientada para cima, podemos usar a seguinte equação:

onde e são as componentes e do rotacional:

Agora, precisamos expressar nossa região de integração em uma função do tipo . Sabemos que faz parte do plano, então essa é nossa função :

Calculamos suas derivadas parciais:

E:

Substituindo na nossa equação ali do começo desse nosso passo:

Fazendo a soma dos termos:

Veja que ainda faltam os limites de integração da nossa integral dupla, que vamos tirar da região .

é a projeção de no plano , certo? Vamos começar entendendo quais são nossos limites para . Para isso, fazemos na equação do plano:

Isolando :

Como o enunciado diz que estamos no primeiro octante, isso significa que nossa região está limitada pelos eixos positivos de , e . Então nosso valor mínimo é e o intervalo vai ser:

Para , podemos fazer na equação do plano:

Isolando :

Da mesma forma que foi pra , também está limitado aos valores positivos, pois estamos no primeiro octante, então nosso intervalo será:

Pronto, já temos nossos limites de integração!

Assim, nossa integral fica:

Agora precisamos calcular nossa integral:

Integrando primeiro em , que é a integral de dentro e tratando como constante:

Aplicando os limites de integração em , temos:

Usando a propriedade

Ou seja, vamos substituir nossos “” por:

Então, fazemos:

E ficamos com:

Somando as frações e simplificando a expressão:

Multiplicando mais uns termos:

Somamos as frações e tiramos a constante para fora:

Vamos lá que tá quase acabando! Subtraindo e somando os termos da integral:

Finalmente integramos em :

E aplicamos os limites de integração:

O que nos leva a: