Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.

raiz(1 + x)

Passo 1

E aí, futuro cientista, preparado para usar todo o seu talento em cálculo nesta questão de cálculo? Vamos lá!

Para resolver essa questão, vamos usar a série binomial para expandir a função 1 + x como uma série de potências. Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série.

Primeiro, reescrevamos a função 1 + x de uma forma que possamos aplicar a série binomial:

1 + x = 1 + x 1 / 2

A série binomial nos permite expandir 1 + x k em uma série de potências. A fórmula da série binomial é:

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Os coeficientes binomiais generalizados k n são definidos como:

k n = k ( k - 1 ) ( k - 2 )   . . .   ( k - n + 1 ) n !

Nosso objetivo aqui é encontrar a série de potências para 1 + x e determinar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Vamos aplicar essa fórmula para k = 1 2 . Primeiro, vamos calcular os primeiros termos da série:

1 / 2 0 = 1

1 / 2 1 = 1 / 2 1 = 1 2

1 / 2 2 = ( 1 / 2 ) ( - 1 / 2 ) 2 ! =   - 1 8

1 / 2 3 = ( 1 / 2 ) ( - 1 / 2 ) ( - 3 / 2 ) 3 ! = 1 16

Substituindo esses coeficientes na série, obtemos:

1 + x 1 / 2 = 1 + 1 2 x + - 1 8 x 2 + 1 16 x 3 + …

Portanto, a série de potências para 1 + x é:

1 + x = ∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n x n = 1 + 1 2 x + - 1 8 x 2 + 1 16 x 3 + …

Passo 3

Agora vamos determinar o raio de convergência da série binomial. A série binomial genérica 1 + x k converge para x < 1 . Portanto, a série:

1 + x 1 / 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n x n

também converge para x < 1 , ou seja, o raio de convergência é R = 1 .

Resposta

1 + x 1 / 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n x n

R = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados