Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.10 - Ex. 21
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
Passo 1
E aí, futuro cientista, preparado para usar todo o seu talento em cálculo nesta questão de cálculo? Vamos lá!
Para resolver essa questão, vamos usar a série binomial para expandir a função como uma série de potências. Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série.
Primeiro, reescrevamos a função de uma forma que possamos aplicar a série binomial:
A série binomial nos permite expandir em uma série de potências. A fórmula da série binomial é:
Os coeficientes binomiais generalizados são definidos como:
Nosso objetivo aqui é encontrar a série de potências para e determinar o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Vamos aplicar essa fórmula para . Primeiro, vamos calcular os primeiros termos da série:
Substituindo esses coeficientes na série, obtemos:
Portanto, a série de potências para é:
Passo 3
Agora vamos determinar o raio de convergência da série binomial. A série binomial genérica converge para . Portanto, a série:
também converge para , ou seja, o raio de convergência é .