Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 7
Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.
7.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
No início da tarefa, notamos que a expressão pode ser escrita como porque é um número natural (portanto o logaritmo está bem definido). Ao escrever logaritmos de uma maneira diferente, usamos a seguinte regra:
Ou seja, o domínio dos logaritmos são todos os números reais positivos. Se tivéssemos um exemplo de
Então não devemos diminuir a potência antes do logaritmo porque, em −2, o logaritmo não está bem definido. Portanto, podemos escrever como:
Passo 2
A sequência converge se o limite
existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a .
Para concluir o que acontece com o enésimo termo quando tende ao infinito, vamos relembrar a teoria de que n cresce muito mais rápido que . Portanto, vai para 0 quando vai para o infinito. Poderíamos ter chegado a essa conclusão usando o limite que aparece frequentemente:
Usando o limite (2), concluímos que quando n se aproxima do infinito que tende para .
Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência converge.