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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 43

Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.

Passo 1

Nesta tarefa, recebemos uma função de duas variáveis f(x,y) e pedimos para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem. Lembre-se de que as derivadas parciais de segunda ordem são definidas como:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y

Além disso, usamos o teorema da derivada mista que afirma que, caso as derivadas parciais de ordem mista sejam contínuas, então:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

Como esse será o caso, há um cálculo a menos que precisamos fazer.

Passo 2

∂ g ∂ x = ∂ ∂ x x 2 y + cos ⁡ y + ysin ⁡ x = 2 x y + ycos ⁡ x ∂ g ∂ y = ∂ ∂ y x 2 y + cos ⁡ y + ysin ⁡ x = x 2 - sin ⁡ y + sin ⁡ x

∂ 2 g ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ g ∂ x = ∂ ∂ x ( 2 x y + y c o s ⁡ x ) = 2 y - y s i n ⁡ x

Passo 3

∂ 2 g ∂ x ∂ y = ∂ 2 g ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ g ∂ x = ∂ ∂ y ( 2 x y + y c o s ⁡ x ) = 2 x + c o s ⁡ x

∂ 2 g ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ g ∂ y = ∂ ∂ y x 2 - s i n ⁡ y + s i n ⁡ x = - c o s ⁡ y

Resposta

∂ 2 g ∂ x 2 = 2 y - y s i n ⁡ x , ∂ 2 g ∂ x ∂ y = ∂ 2 g ∂ y ∂ x = 2 x + c o s ⁡ x ,  and  ∂ 2 g ∂ y 2 = - c o s ⁡ y

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