Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).

f(x, y, z) = e^(xy * z^2), f_xy_z

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!

O problema pede para encontrarmos a derivada parcial f x y z de terceira ordem da função f !

Para encontrar uma derivada de terceira ordem nós precisamos derivar 3 vezes (lembrando: em derivadas parciais nós tratamos as variáveis que não estão envolvidas na derivação como constante).

Dessa forma, como queremos encontrar f x y z , nosso cronograma será o seguinte:

∂ f ∂ x →   ∂ ² f ∂ y ∂ x →   ∂ ³ f ∂ z ∂ y ∂ x

Passo 2

Derivando primeiramente com relação a x (tratando y e z como constantes):

Temos a função

f x = e x y z 2

Para encontrar sua derivada podemos usar a regra da cadeia!

Relembrando: A regra da cadeia diz que para uma função

f g ( x )

A sua derivada é dada por

d f d x = d f ( u ) d u ⋅ d u d x

De forma que:

∂ f ∂ x = ∂ e u ∂ u ⋅ ∂ x y z 2 ∂ x

f x = y z 2 e x y z 2

Passo 3

Continuando o nosso cronograma, agora vamos derivar f x com relação a y (tratando x e z como constantes):

Temos a função

f x ( y ) = y z 2 e x y z 2

Mas veja que f x é o produto entre duas funções de y , para isso usaremos a regra do produto!

Relembrando: A regra do produto diz que para uma função

z x = f x ⋅ g ( x )

A sua derivada é dada por

d z d x = f ' x g x + f x g ' ( x )

De forma que:

f x y = z 2 e x y z 2 + y z 2 e x y z 2 ⋅ x z 2

f x y = z 2 + x y z 4   e x y z 2

Passo 4

Por fim, vamos derivar f x y com relação a z (tratando x e y como constantes):

Temos a função

f x y ( z ) = z 2 + x y z 4   e x y z 2

Mas veja que f x y é o produto entre duas funções de z , para isso usaremos a regra do produto!

De forma que teremos:

d f x y z d z = d z 2 + x y z 4 d z   e x y z 2 + z 2 + x y z 4 d   e x y z 2 d z

f x y z = 2 z + 4 x y z 3 e x y z 2 + z 2 + x y z 4 ⋅ 2 x y z   e x y z 2  

Portanto,

f x y z = 2 z + 6 x y z 3 + 2 x 2 y 2 z 5   e x y z 2

Resposta

f x y z = 2 z + 6 x y z 3 + 2 x 2 y 2 z 5   e x y z 2

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